17 Fragen zu Rechnerisch

Ja, Make-to-Stock (M) kann rechnerisch ermittelt werden, indem verschiedene Kennzahlen und Formeln verwendet werden, um die Produktions- und Lagerbestände zu analysieren. Wichtige Aspekte sind: 1. **Nachfrageprognose**: Schätze die zukünftige Nachfrage für das Produkt, um die benötigte Produktionsmenge zu bestimmen. 2. **Sicherheitsbestand**: Berechne den Sicherheitsbestand, um Unsicherheiten in der Nachfrage oder Lieferzeiten abzufangen. Dies kann durch die Formel für den Sicherheitsbestand erfolgen: \[ \text{Sicherheitsbestand} = Z \times \sigma_d \times \sqrt{L} \] wobei \(Z\) der Z-Wert für das gewünschte Serviceniveau, \(\sigma_d\) die Standardabweichung der Nachfrage und \(L\) die Lieferzeit ist. 3. **Produktionsmenge**: Bestimme die Produktionsmenge basierend auf der Nachfrageprognose und dem Sicherheitsbestand. 4. **Lagerumschlag**: Berechne den Lagerumschlag, um die Effizienz der Lagerhaltung zu bewerten: \[ \text{Lagerumschlag} = \frac{\text{Kosten der verkauften Waren}}{\text{Durchschnittlicher Lagerbestand}} \] Durch die Kombination dieser Berechnungen kannst du eine fundierte Entscheidung über die Make-to-Stock-Strategie treffen und die optimale Produktionsmenge ermitteln.

Um die Oberfläche eines Würfels zu berechnen, kannst du die folgende Formel verwenden: \[ \text{Oberfläche} = 6 \times a^2 \] Dabei ist \( a \) die Kantenlänge des Würfels. Für einen Würfel mit einer Kantenlänge von 6 cm: \[ \text{Oberfläche} = 6 \times (6 \, \text{cm})^2 \] \[ \text{Oberfläche} = 6 \times 36 \, \text{cm}^2 \] \[ \text{Oberfläche} = 216 \, \text{cm}^2 \] Die Oberfläche des Würfels beträgt also 216 cm².

Um den Materialbedarf für Fliesen und Mörtel rechnerisch zu ermitteln, kannst du folgende Formeln verwenden: ### Fliesenbedarf: 1. **Flächenberechnung:** **Raumfläche (m²) = Länge (m) x Breite (m)** 2. **Fliesenbedarf:** - **Anzahl der Fliesen = Raumfläche (m²) / Fläche einer Fliese (m²)** Beispiel: - Raumfläche: 10 m² - Fliesengröße: 0,25 m x 0,25 m = 0,0625 m² - Anzahl der Fliesen: 10 m² / 0,0625 m² = 160 Fliesen ### Mörtelbedarf: 1. **Mörtelmenge pro m²:** - Durchschnittlich benötigt man etwa 3-4 kg Fliesenkleber pro m². 2. **Gesamtbedarf:** - **Gesamtmenge Mörtel (kg) = Raumfläche (m²) x Mörtelmenge pro m² (kg)** Beispiel: - Raumfläche: 10 m² - Mörtelmenge pro m²: 3,5 kg - Gesamtmenge Mörtel: 10 m² x 3,5 kg/m² = 35 kg ### Fugenmörtel: 1. **Fugenbreite und -tiefe berücksichtigen:** - Durchschnittlich benötigt man etwa 0,5-1 kg Fugenmörtel pro m², abhängig von der Fugenbreite und -tiefe. 2. **Gesamtbedarf:** - **Gesamtmenge Fugenmörtel (kg) = Raumfläche (m²) x Fugenmörtelmenge pro m² (kg)** Beispiel: - Raumfläche: 10 m² - Fugenmörtelmenge pro m²: 0,75 kg - Gesamtmenge Fugenmörtel: 10 m² x 0,75 kg/m² = 7,5 kg Diese Formeln geben dir eine gute Grundlage, um den Materialbedarf für dein Projekt zu berechnen. Beachte, dass du immer etwas mehr Material einplanen solltest, um Verschnitt und eventuelle Fehler auszugleichen.

Um den Ausdruck \( \frac{500}{625 + ((38,75 + h) - 38,75)^2} \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache den Term im Nenner: \[ (38,75 + h) - 38,75 = h \] Somit wird der Ausdruck zu: \[ \frac{500}{625 + h^2} \] 2. Der vereinfachte Ausdruck lautet: \[ \frac{500}{625 + h^2} \] Das ist die vereinfachte Form des gegebenen Ausdrucks.

Um die Schnittpunkte der Funktionen \( g(x) = x - 2 \) und \( f(x) = -1,5x + 0,5 \) mit den Achsen zu bestimmen, müssen die Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse berechnet werden. ### Funktion \( g(x) = x - 2 \) **Schnittpunkt mit der y-Achse:** Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird gefunden, indem \( x = 0 \) gesetzt wird. \[ g(0) = 0 - 2 = -2 \] Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \( (0, -2) \). **Schnittpunkt mit der x-Achse:** Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird gefunden, indem \( g(x) = 0 \) gesetzt wird. \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also \( (2, 0) \). ### Funktion \( f(x) = -1,5x + 0,5 \) **Schnittpunkt mit der y-Achse:** Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird gefunden, indem \( x = 0 \) gesetzt wird. \[ f(0) = -1,5 \cdot 0 + 0,5 = 0,5 \] Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \( (0, 0,5) \). **Schnittpunkt mit der x-Achse:** Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird gefunden, indem \( f(x) = 0 \) gesetzt wird. \[ -1,5x + 0,5 = 0 \] \[ -1,5x = -0,5 \] \[ x = \frac{-0,5}{-1,5} = \frac{1}{3} \] Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also \( \left( \frac{1}{3}, 0 \right) \). Zusammengefasst: - Die Funktion \( g(x) = x - 2 \) hat die Schnittpunkte: - Mit der y-Achse: \( (0, -2) \) - Mit der x-Achse: \( (2, 0) \) - Die Funktion \( f(x) = -1,5x + 0,5 \) hat die Schnittpunkte: - Mit der y-Achse: \( (0, 0,5) \) - Mit der x-Achse: \( \left( \frac{1}{3}, 0 \right) \)

Um zu überprüfen, ob die Funktion \( h(x) = 6x^2 + 3x^2 \) ursprungssymmetrisch ist, müssen wir die Funktion Symmetrie bezüglich des Ursprungs testen. Eine Funktion ist ursprungssymmetrisch, wenn gilt: \[ h(-x) = -h(x) \] Zuerst vereinfachen wir die Funktion: \[ h(x) = 6x^2 + 3x^2 = 9x^2 \] Nun berechnen wir \( h(-x) \): \[ h(-x) = 9(-x)^2 = 9x^2 \] Jetzt vergleichen wir \( h(-x) \) mit \( -h(x) \): \[ -h(x) = -9x^2 \] Da \( h(-x) = 9x^2 \) und \( -h(x) = -9x^2 \), sehen wir, dass: \[ h(-x) \neq -h(x) \] Somit ist die Funktion \( h(x) = 9x^2 \) nicht ursprungssymmetrisch.

Um die Art des Vierecks rechnerisch zu prüfen, kannst du die Längen der Seiten und die Längen der Diagonalen berechnen. Die Punkte A, B, C und D sind gegeben als: - A(1|2|3) - B(-2|7,5|1) - C(-1|85) - D2|-0,3) 1.Berechnung der Seitenlängen:** Die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten \( P(x_1|y_1|z_1) \) und \( Q(x_2|y_2|z_2) \) wird mit der Formel berechnet: \[ d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Berechne die Längen der Seiten AB, BC, CD und DA: - **AB:** \[ d(A, B) = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (7,5 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (,5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 30,25 + 4} = \sqrt{43,25} \] - **BC:** \[ d(B, C) = \sqrt{((-1) - (-2))^2 + (8 - 7,5)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (,5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 0,25 + 36} = \sqrt{37,25} \] - **CD:** \[ d(C, D) = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-0,5 - 8)^2 + (-3 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (-,5)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 72,25 + 4} = \sqrt{85,25} \] - **DA:** \[ d(D, A) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-0,5))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (,5)^2 + (6)^2} = \sqrt{1 + 6,25 + 36} = \sqrt{43,25} \] 2. **Berechnung der Diagonalen:** Berechne die Längen der Diagonalen AC und BD: - **AC:** \[ d(A, C) = \sqrt{((-1) - 1)^2 + (8 - 2)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 (-8)^2} = \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104} \] - **BD:** \[ d(B, D) = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-0,5 - 7,5)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} \] 3. **Analyse der Ergebnisse:** - Die Längen der Seiten sind: - AB = \( \sqrt{43,25} \) - BC = \( \sqrt{37,25} \) - CD = \( \sqrt{85,25} \) - DA = \( \sqrt{43,25} \) - Die Längen der Diagonalen sind: - AC = \( \sqrt{104} \) - BD = \( \sqrt{96} \) 4. **Bestimmung der Art des Vierecks:** - Wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind (AB = CD und BC = DA), handelt es sich um ein Parallelogramm. - Wenn zusätzlich die Diagonalen gleich lang sind, handelt es sich um ein Rechteck. - Wenn alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat. In diesem Fall sind die Seiten nicht gleich, und die Diagonalen sind ebenfalls nicht gleich. Daher handelt es sich um ein allgemeines Viereck.

Um die Potenzgleichung \( x^{-1} = 5 \) rechnerisch zu lösen, kannst du die Gleichung umformen: 1. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( x \) (vorausgesetzt \( x \neq 0 \)): \[ 1 = 5x \] 2. Teile beide Seiten durch 5: \[ x = \frac{1}{5} \] Die Lösung der Gleichung ist also \( x = \frac{1}{5} \). Für die grafische Lösung mit einem GTR (Grafik-Taschenrechner) kannst du die beiden Funktionen \( f(x) = x^{-1} \) und \( g(x) = 5 \) zeichnen. 1. Zeichne die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \). Diese Funktion hat eine Hyperbelform und ist für \( x > 0 \) und \( x < 0 \) definiert, aber nicht für \( x = 0 \). 2. Zeichne die horizontale Linie \( g(x) = 5 \). Der Schnittpunkt der beiden Graphen gibt die Lösung der Gleichung an. In diesem Fall wird der Schnittpunkt bei \( x = \frac{1}{5} \) liegen.

Um den dritten Punkt eines gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen, wenn die Koordinaten der beiden anderen Punkte bekannt sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Bezeichne die Punkte**: Nennen wir die beiden bekannten Punkte \( A(x_1, y_1) \) und \( B(x_2, y_2) \). 2. **Berene die Länge der Seite**: Die Länge der Seite \( AB \) ist gegeben durch die Formel: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 3. **Bestimme die möglichen Positionen des dritten Punktes**: Der dritte Punkt \( C(x_3, y_3) \) muss so liegen, dass die Abstände \( AC \) und \( BC \) ebenfalls gleich der Länge \( d \) sind. Es gibt zwei mögliche Positionen für \( C \), die durch eine Drehung von \( 60^\circ \) oder \( -60^\circ \) um den Punkt \( A \) oder \( B \) entstehen. 4. **Berechne die Koordinaten von \( C \)**: - Um den Punkt \( C \) durch Drehung um \( A \) zu finden, kannst du die folgenden Formeln verwenden: \[ x_3 = x_1 + \frac{d}{2} \cdot \cos\left(\theta\right) \] \[ y_3 = y_1 + \frac{d}{2} \cdot \sin\left(\theta\right) \] wobei \( \theta = 60^\circ \) für eine Position und \( \theta = -60^\circ \) für die andere Position. - Alternativ kannst du die Koordinaten von \( C \) auch durch Drehung um \( B \) berechnen. 5. **Setze die Werte ein**: Berechne die Koordinaten von \( C \) für beide Drehungen, um die beiden möglichen Positionen zu erhalten. Durch diese Schritte kannst du die Koordinaten des dritten Punktes eines gleichseitigen Dreiecks bestimmen.

Um zu überprüfen, ob die Funktion \( h(x) = 6x^2 + 3x \) ursprungssymmetrisch ist, musst du die Bedingung für Ursprungssymmetrie testen. Eine Funktion ist ursprungssymmetrisch, wenn gilt: \[ h(-x) = -h(x) \] Zuerst berechnen wir \( h(-x) \): \[ h(-x) = 6(-x)^2 + 3(-x) = 6x^2 - 3x \] Nun berechnen wir \( -h(x) \): \[ -h(x) = - (6x^2 + 3x) = -6x^2 - 3x \] Jetzt vergleichen wir \( h(-x) \) und \( -h(x) \): \[ h(-x) = 6x^2 - 3x \] \[ -h(x) = -6x^2 - 3x \] Da \( h(-x) \) und \( -h(x) \) nicht gleich sind (insbesondere die Koeffizienten von \( x^2 \) sind unterschiedlich), ist die Funktion \( h(x) = 6x^2 + 3x \) nicht ursprungssymmetrisch.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) ein Tiefpunkt hat, müssen wir die Ableitungen der Funktion untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das ergibt: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 3. **Zweite Ableitung**: Um zu bestimmen, ob es sich bei diesen Punkten um Tief- oder Hochpunkte handelt, berechnen wir die zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] 4. **Werte der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**: - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] 5. **Zusammenfassung**: Die Funktion hat bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) Tiefpunkte, da die zweite Ableitung an diesen Stellen positiv ist. Bei \( x = 0 \) handelt es sich um einen Hochpunkt, da die zweite Ableitung negativ ist. Somit ist die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) ein Tiefpunkt.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die angegebenen Tief- und Hochpunkte hat, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen und analysieren. 1. **Erste Ableitung**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] Um die kritischen Punkte zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich null: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren ergibt: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das führt zu: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Lösungen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 2. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] Um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung an den kritischen Punkten ein. - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] 3. **Funktionswerte an den kritischen Punkten**: - Für \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T1(-2, 0)) \] - Für \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 16 = 16 \quad (H(0, 16)) \] - Für \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T2(2, 0)) \] Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die Tiefpunkte \( T1(-2, 0) \) und \( T2(2, 0) \) sowie den Hochpunkt \( H(0, 16) \).

Die demografische Entwicklung in Deutschland zeigt, dass die Bevölkerung tendenziell altert und die Geburtenrate unter dem Niveau liegt, das für eine stabile Bevölkerungszahl erforderlich wäre. Wenn diese Trends anhalten, könnte die deutsche Bevölkerung in den kommenden Jahrzehnten schrumpfen. Allerdings gibt es verschiedene Faktoren, die dies beeinflussen können, wie Migration, Geburtenraten von Zuwanderern und politische Maßnahmen zur Förderung der Familiengründung. Rein rechnerisch könnte die deutsche Bevölkerung also schrumpfen, aber ein vollständiges "Aussterben" ist unwahrscheinlich, solange es Zuwanderung und andere demografische Veränderungen gibt.

Um rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Geraden parallel sind, kannst du die Steigungen der beiden Geraden vergleichen. 1. **Geradengleichungen in der Form y = mx + b**: Wenn die Geraden in der Form \(y = mx + b\) gegeben sind, ist \(m\) die Steigung. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben, also \(m_1 = m_2\). 2. **Geradengleichungen in der Form Ax + By + C = 0**: Wenn die Geraden in dieser Form gegeben sind, kannst du die Steigungen berechnen, indem du die Gleichungen umstellst. Die Steigung einer Geraden in dieser Form ist \(-\frac{A}{B}\). Auch hier sind die Geraden parallel, wenn die Verhältnisse der Koeffizienten gleich sind: \(\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2}\). 3. **Vektoren**: Wenn die Geraden durch Richtungsvektoren beschrieben werden, sind sie parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Das bedeutet, dass es einen Skalar \(k\) gibt, sodass \(v_1 = k \cdot v_2\). Wenn du diese Schritte befolgst, kannst du feststellen, ob die beiden Geraden parallel sind.

Um die Steigung und den y-Achsenabschnitt eines Graphen rechnerisch abzulesen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Gleichung der Geraden**: Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist \(y = mx + b\), wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der y-Achsenabschnitt ist. 2. **Bestimme den y-Achsenabschnitt (b)**: Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Dies geschieht, wenn \(x = 0\). Lies den Wert von \(y\) an diesem Punkt ab. Dieser Wert ist \(b\). 3. **Berechne die Steigung (m)**: Die Steigung ist das Verhältnis der Änderung von \(y\) zur Änderung von \(x\) (also \(\Delta y / \Delta x\)). Wähle zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel \(P_1(x_1, y_1)\) und \(P_2(x_2, y_2)\). Berechne die Steigung mit der Formel: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 4. **Zusammenfassung**: Nachdem du die Werte für \(m\) und \(b\) bestimmt hast, kannst du die Gleichung der Geraden aufstellen. Diese Schritte helfen dir, die Steigung und den y-Achsenabschnitt aus einem Graphen abzulesen.