5 Fragen zu Hochpunkt

Um den Hochpunkt einer e-Funktion (exponentialen Funktion) zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Funktion aufstellen**: Beginne mit der Funktion \( f(x) = e^{g(x)} \), wobei \( g(x) \) eine Funktion ist, die die Form von \( f(x) \) bestimmt. 2. **Ableitung bilden**: Berechne die erste Ableitung \( f'(x) \). Bei einer Funktion der Form \( f(x) = e^{g(x)} \) gilt die Regel: \[ f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) \] 3. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die erste Ableitung gleich null und löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \). Dies gibt dir die kritischen Punkte, an denen Hoch- oder Tiefpunkte liegen können. 4. **Zweite Ableitung bilden**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). 5. **Hochpunkt überprüfen**: Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein. Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um einen Hochpunkt. 6. **Hochpunkt koordinaten**: Berechne die y-Koordinate des Hochpunkts, indem du den x-Wert des Hochpunkts in die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) einsetzt. Diese Schritte helfen dir, den Hochpunkt einer e-Funktion zu finden.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die angegebenen Tief- und Hochpunkte hat, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen und analysieren. 1. **Erste Ableitung**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] Um die kritischen Punkte zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich null: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren ergibt: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das führt zu: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Lösungen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 2. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] Um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung an den kritischen Punkten ein. - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] 3. **Funktionswerte an den kritischen Punkten**: - Für \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T1(-2, 0)) \] - Für \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 16 = 16 \quad (H(0, 16)) \] - Für \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T2(2, 0)) \] Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die Tiefpunkte \( T1(-2, 0) \) und \( T2(2, 0) \) sowie den Hochpunkt \( H(0, 16) \).

Um den Hochpunkt, Tiefpunkt und die Wendestelle der Funktion \( f(x) = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \cdot x \) zu bestimmen, müssen wir die und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen. 1. **Erste Ableitung \( f'(x) \)**: Verwende die Produktregel und die Kettenregel. Setze \( u = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \) und \( v = x \). \[ f'(x) = u'v + uv' \] Berechne \( u' \) und \( v' \): - \( u' = 2\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \) - \( v' = 1 \) Setze dies in die Produktregel ein: \[ f'(x) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot x + \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \] Setze \( f'(x) = 0 \), um die kritischen Punkte zu finden. 2. **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**: Berechne die zweite Ableitung, um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Wendepunkt). \[ f''(x) = \text{Ableitung von } f'(x) \] Setze die kritischen Punkte in \( f''(x) \) ein, um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. 3. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \) und löse nach \( x \) auf, um die Wendepunkte zu finden. Die genauen Berechnungen der Ableitungen und das Lösen der Gleichungen erfordern einige algebraische Schritte. Wenn du diese Schritte durchführst, erhältst du die genauen Werte für Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte.

Um zu bestimmen, ob \( x = 0 \) ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, musst du die Ableitungen der Funktion an diesem Punkt untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Setze die erste Ableitung \( f'(x) \) gleich null, um kritische Punkte zu finden. Wenn \( f'(0) = 0 \), ist \( x = 0 \) ein kritischer Punkt. 2. **Zweite Ableitung**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). Wenn \( f''(0) > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. Wenn \( f''(0) < 0 \), ist es ein Hochpunkt. Wenn \( f''(0) = 0 \), ist eine weitere Untersuchung notwendig. Zusammenfassend: Du musst die Ableitungen der Funktion an \( x = 0 \) analysieren, um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Um die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion \( h(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen. 1. **Erste Ableitung** \( h'(x) \): \[ h'(x) = 2x^2 - 2 \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung** (Hoch- und Tiefpunkte): Setze \( h'(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ oder } x = -1 \] chne die Funktionswerte an diesen Stellen: \[ h(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \] \[ h(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \] Die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte sind: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) 3. **Zweite Ableitung** \( h''(x) \): \[ h''(x) = 4x \] 4. **Wendepunkte**: Setze \( h''(x) = 0 \): \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] Berechne den Funktionswert an dieser Stelle: \[ h(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 2(0) = 0 \] Der Wendepunkt ist: - Wendepunkt: \( (0, 0) \) Zusammenfassend sind die Koordinaten: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) - Wendepunkt: \( (0, 0) \)