Um die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion \( h(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen. 1. **Erste Ableitung** \( h'(x) \): \[ h'(x) = 2x^2 - 2 \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung** (Hoch- und Tiefpunkte): Setze \( h'(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ oder } x = -1 \] chne die Funktionswerte an diesen Stellen: \[ h(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \] \[ h(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \] Die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte sind: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) 3. **Zweite Ableitung** \( h''(x) \): \[ h''(x) = 4x \] 4. **Wendepunkte**: Setze \( h''(x) = 0 \): \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] Berechne den Funktionswert an dieser Stelle: \[ h(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 2(0) = 0 \] Der Wendepunkt ist: - Wendepunkt: \( (0, 0) \) Zusammenfassend sind die Koordinaten: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) - Wendepunkt: \( (0, 0) \)