7 Fragen zu Tiefpunkt

"Ganz unten" zu sein, ist ein subjektives Empfinden und für jeden Menschen etwas anderes bedeuten. Es kann sich auf verschiedene Lebensbereiche beziehen, wie zum Beispiel: 1. **Finanziell**: Wenn man große Schulden hat oder kein Einkommen mehr erzielt. 2. **Emotional**: Wenn man sich extrem traurig, hoffnungslos oder depressiv fühlt. 3. **Beruflich**: Wenn man seinen Job verliert oder in seiner Karriere stagniert. 4. **Sozial**: Wenn man sich isoliert fühlt oder wichtige Beziehungen verloren hat. 5. **Gesundheitlich**: Wenn man schwer krank ist oder mit chronischen Schmerzen lebt. Es ist wichtig zu erkennen, dass es immer Wege gibt, Unterstützung zu finden und sich aus schwierigen Situationen herauszuarbeiten. Professionelle Hilfe, wie Therapie oder Beratung, kann dabei sehr hilfreich sein.

Um zu bestimmen, ob \( x = 0 \) ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, musst du die Ableitungen der Funktion an diesem Punkt untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Setze die erste Ableitung \( f'(x) \) gleich null, um kritische Punkte zu finden. Wenn \( f'(0) = 0 \), ist \( x = 0 \) ein kritischer Punkt. 2. **Zweite Ableitung**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). Wenn \( f''(0) > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. Wenn \( f''(0) < 0 \), ist es ein Hochpunkt. Wenn \( f''(0) = 0 \), ist eine weitere Untersuchung notwendig. Zusammenfassend: Du musst die Ableitungen der Funktion an \( x = 0 \) analysieren, um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Da die Funktion durch den Punkt A(0|1) verläuft, gilt: 1. \( f(0) = c = 1 \) Somit können wir die Funktion umschreiben als: \[ f(x) = ax^2 + bx + 1 \] Da der Tiefpunkt bei (2|-3) liegt, wissen wir, dass \( f(2) = -3 \). Das ergibt die Gleichung: 2. \( f(2) = 4a + 2b + 1 = -3 \) Das vereinfacht sich zu: \[ 4a + 2b = -4 \] \[ 2a + b = -2 \quad \text{(Gleichung 1)} \] Außerdem ist der Tiefpunkt der Funktion der Punkt, an dem die erste Ableitung gleich null ist. Die erste Ableitung der Funktion ist: \[ f'(x) = 2ax + b \] Setzen wir \( x = 2 \) ein, um die Bedingung für den Tiefpunkt zu erhalten: 3. \( f'(2) = 4a + b = 0 \quad \text{(Gleichung 2)} \) Jetzt haben wir ein System von zwei Gleichungen: 1. \( 2a + b = -2 \) 2. \( 4a + b = 0 \) Um das System zu lösen, subtrahieren wir Gleichung 1 von Gleichung 2: \[ (4a + b) - (2a + b) = 0 - (-2) \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] Setzen wir \( a = 1 \) in Gleichung 1 ein: \[ 2(1) + b = -2 \] \[ 2 + b = -2 \] \[ b = -4 \] Damit haben wir die Koeffizienten: - \( a = 1 \) - \( b = -4 \) - \( c = 1 \) Die gesuchte Funktion lautet also: \[ f(x) = x^2 - 4x + 1 \]

Um den Hochpunkt, Tiefpunkt und die Wendestelle der Funktion \( f(x) = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \cdot x \) zu bestimmen, müssen wir die und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen. 1. **Erste Ableitung \( f'(x) \)**: Verwende die Produktregel und die Kettenregel. Setze \( u = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \) und \( v = x \). \[ f'(x) = u'v + uv' \] Berechne \( u' \) und \( v' \): - \( u' = 2\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \) - \( v' = 1 \) Setze dies in die Produktregel ein: \[ f'(x) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot x + \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \] Setze \( f'(x) = 0 \), um die kritischen Punkte zu finden. 2. **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**: Berechne die zweite Ableitung, um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Wendepunkt). \[ f''(x) = \text{Ableitung von } f'(x) \] Setze die kritischen Punkte in \( f''(x) \) ein, um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. 3. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \) und löse nach \( x \) auf, um die Wendepunkte zu finden. Die genauen Berechnungen der Ableitungen und das Lösen der Gleichungen erfordern einige algebraische Schritte. Wenn du diese Schritte durchführst, erhältst du die genauen Werte für Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) ein Tiefpunkt hat, müssen wir die Ableitungen der Funktion untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das ergibt: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 3. **Zweite Ableitung**: Um zu bestimmen, ob es sich bei diesen Punkten um Tief- oder Hochpunkte handelt, berechnen wir die zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] 4. **Werte der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**: - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] 5. **Zusammenfassung**: Die Funktion hat bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) Tiefpunkte, da die zweite Ableitung an diesen Stellen positiv ist. Bei \( x = 0 \) handelt es sich um einen Hochpunkt, da die zweite Ableitung negativ ist. Somit ist die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) ein Tiefpunkt.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die angegebenen Tief- und Hochpunkte hat, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen und analysieren. 1. **Erste Ableitung**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] Um die kritischen Punkte zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich null: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren ergibt: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das führt zu: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Lösungen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 2. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] Um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung an den kritischen Punkten ein. - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] 3. **Funktionswerte an den kritischen Punkten**: - Für \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T1(-2, 0)) \] - Für \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 16 = 16 \quad (H(0, 16)) \] - Für \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T2(2, 0)) \] Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die Tiefpunkte \( T1(-2, 0) \) und \( T2(2, 0) \) sowie den Hochpunkt \( H(0, 16) \).

Um die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion \( h(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen. 1. **Erste Ableitung** \( h'(x) \): \[ h'(x) = 2x^2 - 2 \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung** (Hoch- und Tiefpunkte): Setze \( h'(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ oder } x = -1 \] chne die Funktionswerte an diesen Stellen: \[ h(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \] \[ h(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \] Die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte sind: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) 3. **Zweite Ableitung** \( h''(x) \): \[ h''(x) = 4x \] 4. **Wendepunkte**: Setze \( h''(x) = 0 \): \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] Berechne den Funktionswert an dieser Stelle: \[ h(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 2(0) = 0 \] Der Wendepunkt ist: - Wendepunkt: \( (0, 0) \) Zusammenfassend sind die Koordinaten: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) - Wendepunkt: \( (0, 0) \)