159 Fragen zu Ableitung

Um die Ableitung einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, kannst du die folgenden Schritte befolgen: 1. **Definition der Funktion**: Bestimme die Funktion \( f(x) \), deren Ableitung du berechnen möchtest. 2. **Grenzwertdefinition der Ableitung**: Die Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x \) ist definiert als der Grenzwert: \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] 3. **Einsetzen und Vereinfachen**: Setze \( f(x+h) \) und \( f(x) \) in die Grenzwertdefinition ein und vereinfache den Ausdruck so weit wie möglich. 4. **Grenzwert berechnen**: Berechne den Grenzwert des vereinfachten Ausdrucks, wenn \( h \) gegen 0 geht. Hier ist ein Beispiel zur Veranschaulichung: **Beispiel**: Bestimme die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 \). 1. **Funktion definieren**: \( f(x) = x^2 \) 2. **Grenzwertdefinition anwenden**: \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \] 3. **Einsetzen und Vereinfachen**: \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \] \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{2xh + h^2}{h} \] \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (2x + h) \] 4. **Grenzwert berechnen**: \[ f'(x) = 2x \] Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 \) ist also \( f'(x) = 2x \). Für komplexere Funktionen kannst du ähnliche Schritte befolgen oder Ableitungsregeln wie die Produktregel, Quotientenregel oder Kettenregel anwenden.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 2x \) ist \( f'(x) = 2 \).

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 4x - 1 \) kann durch Anwendung der Potenzregel und der Konstantenregel berechnet werden. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von \( x^n \) gleich \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Ableitung: 1. Ableitung von \( 2x^3 \): \[ \frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2 \] 2. Ableitung von \( -2x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x^{2-1} = -4x \] 3. Ableitung von \( 4x \): \[ \frac{d}{dx}(4x) = 4 \] 4. Ableitung der Konstante \( -1 \): \[ \frac{d}{dx}(-1) = 0 \] Nun die einzelnen Ableitungen zusammenfügen: \[ f'(x) = 6x^2 - 4x + 4 \] Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 4x - 1 \) ist also: \[ f'(x) = 6x^2 - 4x + 4 \]

Um die Ableitung der Funktion \( S(t) = 160 \ot e^{0,25t} - 10 \cdot e^{0,5t} \) zu bilden, verwendest du die Regel für die Ableitung von Exponentialfunktionen. Die allgemeine Regel lautet: \[ \frac{d}{dt} \left( e^{kt} \right) = k \cdot e^{kt} \] Angewendet auf die gegebene Funktion: 1. Ableitung von \( 160 \cdot e^{0,25t} \): \[ \frac{d}{dt} \left( 160 \cdot e^{0,25t} \right) = 160 \cdot 0,25 \cdot e^{0,25t} = 40 \cdot e^{0,25t} \] 2. Ableitung von \( -10 \cdot e^{0,5t} \): \[ \frac{d}{dt} \left( -10 \cdot e^{0,5t} \right) = -10 \cdot 0,5 \cdot e^{0,5t} = -5 \cdot e^{0,5t} \] Die Ableitung von \( S(t) \) ist also: \[ S'(t) = 40 \cdot e^{0,25t} - 5 \cdot e^{0,5t} \]

Um das Maximum einer Funktion zu berechnen, indem du die Ableitung gleich Null, folge diesen Schritten: 1. **Funktion aufstellen**: Sei \( f(x) \) die gegebene Funktion. 2. **Ableitung berechnen**: Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \). 3. **Ableitung gleich Null setzen**: Löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \) nach \( x \) auf, um die kritischen Punkte zu finden. 4. **Zweite Ableitung berechnen**: Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \). 5. **Kritische Punkte untersuchen**: Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein: - Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um ein lokales Maximum. - Wenn \( f''(x) > 0 \), handelt es sich um ein lokales Minimum. - Wenn \( f''(x) = 0 \), ist der Test nicht schlüssig, und es könnte sich um einen Sattelpunkt handeln. Hier ist ein Beispiel: Gegeben sei die Funktion \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \). 1. **Funktion**: \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) 2. **Erste Ableitung**: \( f'(x) = -4x + 4 \) 3. **Ableitung gleich Null setzen**: \[ -4x + 4 = 0 \implies x = 1 \] 4. **Zweite Ableitung**: \( f''(x) = -4 \) 5. **Kritischen Punkt untersuchen**: \[ f''(1) = -4 < 0 \] Da die zweite Ableitung negativ ist, hat die Funktion bei \( x = 1 \) ein lokales Maximum. 6. **Maximum berechnen**: Setze \( x = 1 \) in die ursprüngliche Funktion ein: \[ f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 \] Das Maximum der Funktion \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) ist also \( f(1) = 3 \).

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = -2 \cdot \cos(x) \) kann mit den Regeln der Differenzialrechnung bestimmt werden. Die Ableitungsregel für den Kosinus lautet: \[ \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x) \] Angewendet auf die Funktion \( f(x) = -2 \cdot \cos(x) \), ergibt sich: \[ f'(x) = -2 \cdot \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -2 \cdot (-\sin(x)) = 2 \sin(x) \] Die Ableitung von \( f(x) = -2 \cdot \cos(x) \) ist also: \[ f'(x) = 2 \sin(x) \]

Das mittelhochdeutsche Wort "minne" leitet sich vom althochdeutschen Wort "minna" ab, das "Liebe" oder "Zuneigung" bedeutet. Es ist verwandt mit dem gotischen "minna" und dem altnordischen "minni", die ebenfalls "Liebe" bedeuten. Die Wurzel des Wortes liegt im germanischen *minnō, das auf die indogermanische Wurzel *men- zurückgeht, die "denken" oder "erinnern" bedeutet.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = a \cdot \ln(x) \) lautet: \[ f'(x) = \frac{a}{x} \] Hierbei ist \( a \) eine Konstante und \( \ln(x) \) der natürliche Logarithmus von \( x \).

Die Ableitung des Volumens eines Körpers nach einer bestimmten Variablen stellt die Änderungsrate des Volumens in Bezug auf diese Variable dar. Zum Beispiel, wenn das Volumen \( V \) eines Körpers eine Funktion der Zeit \( t \) ist, dann gibt die Ableitung \( \frac{dV}{dt} \) die Rate an, mit der sich das Volumen des Körpers im Laufe der Zeit ändert. In einem anderen Kontext, wenn das Volumen eine Funktion einer räumlichen Dimension \( x \) ist, dann gibt die Ableitung \( \frac{dV}{dx} \) die Änderungsrate des Volumens in Bezug auf diese Dimension an.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = mx + b \) ist f'(x) = m \). Hierbei ist \( m \) die Steigung der Geraden und \( b \) der y-Achsenabschnitt. Da \( b \) eine Konstante ist, verschwindet sie bei der Ableitung, und die Ableitung von \( mx \) ist einfach \( m \).

Um die Ableitung der Funktion \( V_{\text{Öl}} = \frac{1,0}{X \cdot 2000} \) in Bezug auf \( X \) zu berechnen, kann die Funktion zunächst vereinfacht werden: \[ V_{\text{Öl}} = \frac{1,0}{2000} \cdot \frac{1}{X} \] Dies kann weiter vereinfacht werden zu: \[ V_{\text{Öl}} = \frac{1}{2000X} \] Nun kann die Ableitung dieser Funktion in Bezug auf \( X \) berechnet werden. Die Ableitung von \( \frac{1}{X} \) ist \( -\frac{1}{X^2} \). Daher ist die Ableitung von \( \frac{1}{2000X} \): \[ \frac{d}{dX} \left( \frac{1}{2000X} \right) = \frac{1}{2000} \cdot \frac{d}{dX} \left( \frac{1}{X} \right) = \frac{1}{2000} \cdot \left( -\frac{1}{X^2} \right) = -\frac{1}{2000X^2} \] Die Ableitung von \( V_{\text{Öl}} \) in Bezug auf \( X \) ist also: \[ \frac{dV_{\text{Öl}}}{dX} = -\frac{1}{2000X^2} \]

Um die Ableitung der Funktion \( h = \sqrt{ld^2 \cdot 2\pi} \) zu berechnen, muss zunächst die Funktion vereinfacht werden. Angenommen, \( l \) und \( d \) sind Konstanten, dann kann die Funktion wie folgt umgeschrieben werden: \[ h = \sqrt{ld^2 \cdot 2\pi} \] Dies kann weiter vereinfacht werden zu: \[ h = \sqrt{2\pi l d^2} \] Da \( 2\pi l \) eine Konstante ist, nennen wir diese Konstante \( k \): \[ h = \sqrt{k d^2} \] \[ h = \sqrt{k} \cdot d \] Nun ist die Funktion in der Form \( h = C \cdot d \), wobei \( C = \sqrt{k} \) eine Konstante ist. Die Ableitung von \( h \) nach \( d \) ist dann einfach die Konstante \( C \): \[ \frac{dh}{dd} = C = \sqrt{2\pi l} \] Also ist die Ableitung von \( h \) nach \( d \): \[ \frac{dh}{dd} = \sqrt{2\pi l} \]

Eine mögliche Aufgabe für die 7. Klasse, um das Thema Ableitung von Wörtern selbst zu erarbeiten, könnte wie folgt aussehen: **Aufgabe: Erforsche die Ableitung von Wörtern** 1. **Einführung:** - Lies den folgenden Text über Wortableitungen (Der Lehrer stellt einen kurzen Text zur Verfügung, der erklärt, was Wortableitungen sind und wie sie funktionieren). 2. **Wortstamm und Affixe:** - Finde den Wortstamm und die Affixe (Präfixe und Suffixe) in den folgenden Wörtern: - Beispielwörter: "unfreundlich", "Leser", "glücklich", "Verkäufer", "unvermeidlich". 3. **Eigene Beispiele:** - Denke dir fünf eigene Wörter aus, die durch Ableitung entstanden sind. Schreibe den Wortstamm und die verwendeten Affixe auf. 4. **Wortfamilien:** - Wähle ein Wort aus der Liste und erstelle eine Wortfamilie. Schreibe mindestens fünf Wörter auf, die zu dieser Familie gehören (z.B. "lesen": Leser, Leserin, lesbar, Vorlesung, Lesestoff). 5. **Kreative Aufgabe:** - Schreibe eine kurze Geschichte (ca. 100 Wörter), in der du mindestens fünf abgeleitete Wörter verwendest. Unterstreiche diese Wörter in deinem Text. 6. **Präsentation:** - Bereite eine kurze Präsentation (ca. 3 Minuten) vor, in der du eines deiner abgeleiteten Wörter und seine Wortfamilie vorstellst. Erkläre, wie die Ableitung funktioniert und welche Bedeutung die Affixe haben. **Ziel der Aufgabe:** Die Schüler sollen durch eigenständiges Arbeiten und kreatives Schreiben ein tieferes Verständnis für die Ableitung von Wörtern entwickeln und lernen, wie Wortstämme und Affixe zur Bildung neuer Wörter verwendet werden.

Die Extremstellen der ersten Ableitung einer Funktion sind die Wendestellen der ursprünglichen Funktion, weil an diesen Punkten die Krümmung der ursprünglichen Funktion wechselt. Hier ist eine detaillierte Erklärung: 1. **Definition der Wendestelle**: Eine Wendestelle einer Funktion \( f(x) \) ist ein Punkt, an dem die Funktion von konvex (nach oben gekrümmt) zu konkav (nach unten gekrümmt) oder umgekehrt wechselt. Mathematisch bedeutet dies, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) an diesem Punkt das Vorzeichen wechselt. 2. **Erste Ableitung und ihre Extremstellen**: Die erste Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) gibt die Steigung der Tangente an \( f(x) \) an jedem Punkt \( x \) an. Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die Steigung der Tangente ein Maximum oder Minimum erreicht, also wo \( f'(x) \) selbst ein lokales Maximum oder Minimum hat. 3. **Zusammenhang zwischen erster und zweiter Ableitung**: Die zweite Ableitung \( f''(x) \) gibt die Änderungsrate der Steigung an, also wie sich die Steigung \( f'(x) \) ändert. Wenn \( f'(x) \) ein Extremum hat, dann ist die Änderungsrate der Steigung an diesem Punkt null, was bedeutet, dass \( f''(x) = 0 \). 4. **Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung**: An den Extremstellen von \( f'(x) \) wechselt die Steigung von \( f'(x) \) von steigend zu fallend oder umgekehrt. Dies impliziert, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung ist genau das Kriterium für eine Wendestelle der ursprünglichen Funktion \( f(x) \). Zusammengefasst: Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die zweite Ableitung \( f''(x) \) null ist und das Vorzeichen wechselt. Dies sind genau die Punkte, an denen die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) eine Wendestelle hat.

Die Ableitung der Funktion \( e^x \) ist \( e^x \).