267 Fragen zu Ableitung

Um die Ableitung \( f'(x) \) der Funktion \( f(x) = p x^{p-1} \) zu berechnen, verwendest du die Potenzregel: Die Potenzregel besagt: \[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \] Setze \( n = p-1 \): \[ f(x) = p x^{p-1} \] Die Ableitung ist: \[ f'(x) = p \cdot (p-1) x^{p-2} \] **Ergebnis:** \[ \boxed{f'(x) = p(p-1)x^{p-2}} \]

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = 2\sin(x) - 1 \) im Punkt \( P(\pi, f(\pi)) \) zu bestimmen, gehe wie folgt vor: **1. Funktionswert an der Stelle \( x = \pi \):** \[ f(\pi) = 2\sin(\pi) - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1 \] Der Punkt ist also \( P(\pi, -1) \). **2. Ableitung der Funktion:** \[ f'(x) = 2\cos(x) \] **3. Steigung der Tangente an der Stelle \( x = \pi \):** \[ f'(\pi) = 2\cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2 \] **4. Tangentengleichung aufstellen:** Die Tangente in Punkt \( (x_0, f(x_0)) \) hat die Gleichung: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \] Setze \( x_0 = \pi \), \( f'(\pi) = -2 \), \( f(\pi) = -1 \): \[ y = -2(x - \pi) - 1 \] **5. Vereinfachen:** \[ y = -2x + 2\pi - 1 \] **Antwort:** Die Gleichung der Tangente lautet: \[ \boxed{y = -2x + 2\pi - 1} \]

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) ist: \[ f'(x) = \cos(x) \] An der Stelle \( x_0 = 0 \) ergibt sich: \[ f'(0) = \cos(0) = 1 \] **Antwort:** Die Ableitung von \( f(x) = \sin(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) ist **1**.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) ist \( f'(x) = \cos(x) \). An der Stelle \( x_0 = 1 \) ergibt sich: \[ f'(1) = \cos(1) \] Der Wert von \(\cos(1)\) (im Bogenmaß) ist ungefähr: \[ f'(1) \approx 0{,}5403 \] Das ist die Ableitung der Funktion an der Stelle \( x_0 = 1 \).

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) an einer bestimmten Stelle \( x_0 \) zu bestimmen, benötigst du den Wert von \( x_0 \). In deiner Frage ist \( x_0 \) jedoch nicht angegeben. Die Ableitung der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) ist allgemein: \[ f'(x) = \cos(x) \] An der Stelle \( x_0 \) ergibt das: \[ f'(x_0) = \cos(x_0) \] Ohne einen konkreten Wert für \( x_0 \) kann das Ergebnis nur in dieser allgemeinen Form angegeben werden. Sobald du einen Wert für \( x_0 \) angibst, kann der genaue Wert berechnet werden.

Im Berliner Rahmenlehrplan C Deutsch bedeutet der Standard auf Niveau B „verwandte Wörter zur Ableitung nutzen“, dass Schülerinnen und Schüler lernen sollen, die Bedeutung unbekannter Wörter mithilfe von bekannten, verwandten Wörtern zu erschließen. Das heißt, sie erkennen, dass viele Wörter in der deutschen Sprache Wortfamilien bilden (z. B. „fahren“ – „Fahrer“ – „Fahrt“ – „abfahren“). Wenn sie ein neues Wort wie „Abfahrt“ lesen, können sie durch die Ableitung von dem bekannten Wort „fahren“ auf die Bedeutung schließen. Sie nutzen also ihr Wissen über Wortstämme, Präfixe und Suffixe, um die Bedeutung oder Schreibweise unbekannter Wörter zu verstehen oder herzuleiten. Zusammengefasst: Der Standard fordert, dass Schülerinnen und Schüler die Fähigkeit entwickeln, durch das Erkennen und Nutzen von Wortverwandtschaften (Ableitungen) ihren Wortschatz zu erweitern und Texte besser zu verstehen.

Der Standard „den Wortstamm für Ableitungen nutzen“ im Rahmenlehrplan (RLP) Berlin bezieht sich auf die Fähigkeit von Schülerinnen und Schülern, den Wortstamm eines Wortes zu erkennen und dieses Wissen beim Ableiten verwandter Wörter anzuwenden. **Bedeutung im Detail:** - **Wortstamm:** Das ist der Teil eines Wortes, der die Grundbedeutung trägt und bei verschiedenen Wortformen oder Ableitungen erhalten bleibt. Zum Beispiel ist bei „fahr-“ in „fahren“, „Fahrer“, „Fahrt“ der Wortstamm. - **Ableitungen nutzen:** Das bedeutet, dass die Schüler ausgehend vom Wortstamm neue Wörter bilden oder bestehende verwandte Wörter erkennen können. Sie sollen z.B. von „spielen“ auf „Spiel“, „spielerisch“, „Mitspieler“ usw. schließen können. **Ziel des Standards:** - Die Schüler sollen durch das Erkennen und Nutzen des Wortstamms Rechtschreibregeln besser anwenden können (z.B. bei der Schreibung von Doppelkonsonanten oder Umlauten). - Sie sollen den Wortschatz erweitern und die Struktur der deutschen Sprache besser verstehen. **Beispiel:** - Wenn das Kind das Wort „laufen“ kennt, kann es durch den Wortstamm „lauf-“ auch „Läufer“, „gelaufen“, „Lauf“ usw. ableiten und korrekt schreiben. **Zusammengefasst:** Der Standard fordert, dass Schülerinnen und Schüler den Wortstamm als Basis erkennen und dieses Wissen beim Bilden, Verstehen und Schreiben verwandter Wörter anwenden können. Weitere Informationen findest du im [Rahmenlehrplan Berlin/Brandenburg](https://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/rahmenlehrplaene/grundschule/deutsch).

Wenn du an den Verbstamm „frag“ die Endung „-en“ ergänzt und so das Wort „fragen“ bildest, handelt es sich nicht um eine Ableitung, sondern um die Bildung der Grundform (Infinitiv) des Verbs. In der deutschen Grammatik ist „fragen“ das Grundwort, und „frag-“ ist der Stamm, an den verschiedene Flexionsendungen (wie -en, -st, -t) angehängt werden, um die verschiedenen Verbformen zu bilden (z. B. fragst, fragt, gefragt). Eine Ableitung (Derivation) liegt vor, wenn durch das Hinzufügen von Präfixen oder Suffixen ein neues Wort mit neuer Bedeutung entsteht, z. B. „Frage“ (aus „fragen“ + Suffix „-e“) oder „befragen“ (mit Präfix „be-“). Das Anhängen von „-en“ zur Bildung des Infinitivs ist jedoch reine Flexion, keine Ableitung.

Ja, das Anfügen des Suffixes **-en** an einen Wortstamm ist eine Form der Ableitung (Derivation) in der deutschen Sprache. Dabei wird durch das Hinzufügen des Suffixes ein neues Wort gebildet, das sich in seiner Wortart oder Bedeutung vom ursprünglichen Wortstamm unterscheiden kann. Beispiele: - **gold** (Nomen) → **golden** (Adjektiv) - **weich** (Adjektiv) → **weichen** (Verb) - **breit** (Adjektiv) → **breiten** (Verb) Das Suffix **-en** wird häufig verwendet, um Verben zu bilden (z. B. aus Adjektiven oder Substantiven) oder um Adjektive zu formen. In der Wortbildung ist dies ein typischer Prozess der Ableitung.

Um zu prüfen, ob der Wendepunkt der Funktion \( f(x) = 0{,}2x^3 + 0{,}6x^2 - 1{,}8x + 1 \) bei \( x = -1 \) liegt, berechnet man die zweite Ableitung und setzt sie gleich null. **1. Ableitung:** \[ f'(x) = 0{,}6x^2 + 1{,}2x - 1{,}8 \] **2. Ableitung:** \[ f''(x) = 1{,}2x + 1{,}2 \] Setze \( f''(x) = 0 \): \[ 1{,}2x + 1{,}2 = 0 \\ 1{,}2x = -1{,}2 \\ x = -1 \] **Antwort:** Ja, der Wendepunkt der Funktion liegt bei \( x = -1 \).

Um die Extremwerte der Funktion \( f(x) = 0{,}2x^3 + 0{,}6x^2 - 1{,}8x + 1 \) zu bestimmen, berechnet man die Ableitung und setzt sie gleich null: **1. Ableitung berechnen:** \[ f'(x) = 0{,}6x^2 + 1{,}2x - 1{,}8 \] **2. Nullstellen der Ableitung finden:** \[ 0{,}6x^2 + 1{,}2x - 1{,}8 = 0 \] Teile beide Seiten durch 0,6: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] **3. Quadratische Gleichung lösen:** \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Mit der Mitternachtsformel: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] **4. Funktionswerte berechnen:** \[ f(1) = 0{,}2 \cdot 1^3 + 0{,}6 \cdot 1^2 - 1{,}8 \cdot 1 + 1 = 0{,}2 + 0{,}6 - 1{,}8 + 1 = 0 \] \[ f(-3) = 0{,}2 \cdot (-3)^3 + 0{,}6 \cdot (-3)^2 - 1{,}8 \cdot (-3) + 1 = 0{,}2 \cdot (-27) + 0{,}6 \cdot 9 + 5{,}4 + 1 = -5{,}4 + 5{,}4 + 5{,}4 + 1 = 6{,}4 \] **5. Ergebnis:** Die Extremstellen sind bei \( x = 1 \) und \( x = -3 \) mit den zugehörigen Funktionswerten: - \( (1 \mid 0) \) - \( (-3 \mid 6{,}4) \) **Fazit:** Die von dir genannten Werte „Extrema1 4,6“ und „Extrema -6,6“ stimmen nicht mit den tatsächlichen Extremwerten der Funktion überein. Die korrekten Extremwerte sind \( (1 \mid 0) \) und \( (-3 \mid 6{,}4) \).

Im Berliner Rahmenlehrplan bedeutet „den Wortstamm für Ableitungen benutzen“, dass Schülerinnen und Schüler lernen sollen, den Grundbaustein eines Wortes – den sogenannten Wortstamm – zu erkennen und zu nutzen, um neue Wörter (Ableitungen) zu bilden oder die Bedeutung unbekannter Wörter zu erschließen. Beispiel: Der Wortstamm von „spielen“ ist „spiel“. Daraus lassen sich durch Anhängen von Vorsilben (Präfixen) oder Nachsilben (Suffixen) neue Wörter ableiten, wie „Spieler“, „spielbar“, „abspielen“, „verspielen“ usw. Das Ziel ist, dass die Lernenden durch das Verständnis des Wortstamms: - Wortfamilien erkennen, - die Bedeutung verwandter Wörter erschließen, - Rechtschreibregeln besser anwenden können. Im Unterricht wird dies oft durch Übungen zum Zerlegen von Wörtern, das Bilden von Wortfamilien und das Ableiten neuer Wörter aus einem Stamm geübt.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a x} \] Das folgt aus der Kettenregel, da die Ableitung von \( e^{u} \) nach \( u \) \( e^{u} \) ist und die Ableitung von \( a x \) nach \( x \) gleich \( a \) ist.

An der ersten Ableitung \( f' \) allein kannst du nicht sicher erkennen, ob eine Wendestelle der Funktion \( f \) vorliegt. Eine Wendestelle ist ein Punkt, an dem der Graph von \( f \) sein Krümmungsverhalten ändert, also von "linksgekrümmt" zu "rechtsgekrümmt" oder umgekehrt. Mathematisch bedeutet das, dass die zweite Ableitung \( f'' \) an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt. Was du an \( f' \) erkennen kannst: - An einer Wendestelle hat \( f' \) ein Extremum (also ein Hoch- oder Tiefpunkt), weil \( f''(x) = 0 \) und \( f'' \) das Vorzeichen wechselt. Um eine Wendestelle sicher zu bestimmen, brauchst du also die zweite Ableitung \( f'' \): 1. Setze \( f''(x) = 0 \) und löse nach \( x \). 2. Prüfe, ob \( f'' \) an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt (z.B. mit einer Vorzeichenprobe oder durch Betrachtung der dritten Ableitung). Zusammengefasst: An \( f' \) kannst du nur vermuten, dass eine Wendestelle vorliegt, wenn \( f' \) dort ein Extremum hat. Sicher nachweisen kannst du eine Wendestelle aber nur mit Hilfe von \( f'' \).

Ja, das stimmt. Wenn die Ableitung \( f' \) an der Stelle \( x_0 \) einen Vorzeichenwechsel hat, dann liegt bei \( x_0 \) tatsächlich eine Extremstelle der Funktion \( f \) vor. **Begründung:** - Wechselt \( f' \) von positiv zu negativ, handelt es sich um ein lokales Maximum. - Wechselt \( f' \) von negativ zu positiv, handelt es sich um ein lokales Minimum. Voraussetzung ist, dass \( f \) an der Stelle \( x_0 \) differenzierbar ist und \( f'(x_0) = 0 \) gilt. Der Vorzeichenwechsel der Ableitung ist das entscheidende Kriterium für das Vorliegen einer Extremstelle (Minimum oder Maximum) nach dem sogenannten **Vorzeichenwechselkriterium**.