Wie lautet die Ableitung von f(x) = Wurzel(2x) unter Verwendung der Kettenregel (innere und äußere Ableitung)?

Question

Wie lautet die Ableitung von f(x) = Wurzel(2x) unter Verwendung der Kettenregel (innere und äußere Ableitung)?

Antwort

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Was ist die Zahl 2.221441469 im Verhältnis zu Pi und Wurzel aus 2?

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Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \) **1. Ableitung der äußeren Funktion:** \( g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **2. Ableitung der inneren Funktion:** \( h'(x) = 2 \) **Kettenregel:** \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) **Einsetzen:** \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \) **Vereinfachen:** \( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \) **Antwort:** Die Ableitung ist \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] **Innere Ableitung:** \( h'(x) = 2 \) **Äußere Ableitung:** \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **Gesamte Ableitung:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Accepted Answer

Die Zahl 2,221441469 liegt zwischen π (Pi ≈ 3,141592654) und √2 (Wurzel aus 2 ≈ 1,414213562). Sie ist also größer als die Wurzel aus 2, aber kleiner als Pi. Ein Vergle... [mehr]

Accepted Answer

Die Zahl 2,221441469 liegt zwischen π (Pi ≈ 3,141592654) und √2 (Wurzel aus 2 ≈ 1,414213562). Sie ist also größer als die Wurzel aus 2, aber kleiner als Pi. Ein Vergleich im Verhältnis: - Zu √2: 2,221441469 / 1,414213562 ≈ 1,571 Das heißt, 2,221441469 ist etwa 1,57-mal so groß wie die Wurzel aus 2. - Zu π: 2,221441469 / 3,141592654 ≈ 0,707 Das heißt, 2,221441469 ist etwa 70,7 % von Pi. Die Zahl 2,221441469 ist keine bekannte mathematische Konstante im direkten Zusammenhang mit Pi oder √2. Falls du einen bestimmten Zusammenhang meinst (z. B. eine Formel oder einen Kontext), bitte präzisiere die Frage.

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Die Aussage „Die Wurzel aus a² ist gleich dem Betrag von a“ lässt sich mit den Eigenschaften der Quadratwurzel und des Betrags erklären – und das hängt vom Zahlen... [mehr]

Accepted Answer

Die Aussage „Die Wurzel aus a² ist gleich dem Betrag von a“ lässt sich mit den Eigenschaften der Quadratwurzel und des Betrags erklären – und das hängt vom Zahlenraum ab, in dem du dich befindest. **Im Zahlenraum der reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)):** - Das Quadrat einer Zahl \(a\) (also \(a^2\)) ist immer **nicht-negativ** (größer oder gleich 0), egal ob \(a\) selbst positiv oder negativ ist. - Die Quadratwurzel \(\sqrt{x}\) ist für \(x \geq 0\) definiert und liefert **per Definition immer die nicht-negative Zahl**, deren Quadrat \(x\) ergibt. - Der Betrag \(|a|\) ist ebenfalls immer nicht-negativ und gibt an, wie weit \(a\) von 0 entfernt ist, unabhängig vom Vorzeichen. **Deshalb gilt:** \[ \sqrt{a^2} = |a| \] Denn: - Ist \(a \geq 0\), dann ist \(\sqrt{a^2} = \sqrt{a \cdot a} = a = |a|\). - Ist \(a < 0\), dann ist \(\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a) \cdot (-a)} = -a = |a|\), weil \(-a\) dann positiv ist. **Im Zahlenraum der komplexen Zahlen (\(\mathbb{C}\)):** - Hier ist die Quadratwurzel nicht eindeutig, da jede Zahl (außer 0) zwei Quadratwurzeln hat. - Die Definition \(\sqrt{a^2} = |a|\) gilt **so nicht mehr allgemein**, weil die Wurzel aus einer komplexen Zahl nicht eindeutig ist und der Betrag von \(a\) etwas anderes beschreibt (nämlich den Abstand zum Ursprung im komplexen Zahlenraum). **Fazit:** Die Gleichung \(\sqrt{a^2} = |a|\) gilt **im Zahlenraum der reellen Zahlen** (\(\mathbb{R}\)), weil die Quadratwurzel per Definition die nicht-negative Lösung ist und der Betrag genau diese nicht-negative Zahl liefert. In anderen Zahlenräumen, wie den komplexen Zahlen, gilt diese Gleichung nicht ohne Weiteres.

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Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \)... [mehr]

Accepted Answer

Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \), also \( a^2 \), ist immer **nicht-negativ** (egal, ob \( a \) positiv oder negativ ist). - Die Quadratwurzel \( \sqrt{x} \) ist per Definition die **nicht-negative** Zahl, deren Quadrat \( x \) ergibt. - Wenn du also \( \sqrt{a^2} \) berechnest, suchst du die nicht-negative Zahl, deren Quadrat \( a^2 \) ist. Das ist genau der **Betrag von \( a \)**, also \( |a| \). **Beispiel:** - Für \( a = 3 \): \( \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 = |3| \) - Für \( a = -3 \): \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3| \) **Zusammengefasst:** \[ \sqrt{a^2} = |a| \] weil die Wurzel immer den nicht-negativen Wert liefert, unabhängig davon, ob \( a \) selbst positiv oder negativ ist.

Accepted Answer

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Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Kategorie: Mathematik Tags: Ableitung Exponentialfunktion Mathematik

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Gegeben ist das Integral: \[ \int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})} \] Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an. **Schritt 1: Substituti... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist das Integral: \[ \int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})} \] Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an. **Schritt 1: Substitution** Setze \( u = \sqrt{x} \) ⇒ \( x = u^2 \) ⇒ \( dx = 2u\,du \). Die Grenzen ändern sich: - Für \( x = 0 \): \( u = 0 \) - Für \( x = 0{,}25 \): \( u = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \) **Schritt 2: Integral umschreiben** \[ \int_{x=0}^{x=0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})} = \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2u\,du}{u(1-u)} = \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u} \] **Schritt 3: Integral berechnen** \[ \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u} = 2 \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{du}{1-u} = 2 \left[ -\ln|1-u| \right]_{0}^{0{,}5} \] \[ = 2 \left( -\ln(1-0{,}5) + \ln(1-0) \right) = 2 \left( -\ln(0{,}5) + \ln(1) \right) = 2 \left( -\ln(0{,}5) \right) = 2 \ln(2) \] **Schritt 4: Ergebnis** \[ \boxed{2 \ln(2)} \] Das ist der exakte Wert. Näherungsweise: \[ 2 \ln(2) \approx 1{,}386 \]

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Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein... [mehr]

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Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein "Knick" im Graphen ist. In deinem Fall gibt es zwei solche Stellen: bei \( x = 1 \) und bei \( x = 2 \). **Im Detail:** - Für \( x < 1 \): \( g(x) = (1-x) + (2-x) = 3 - 2x \) - Für \( 1 \leq x < 2 \): \( g(x) = (x-1) + (2-x) = 1 \) - Für \( x \geq 2 \): \( g(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3 \) **Ableitungen:** - Für \( x < 1 \): \( g'(x) = -2 \) - Für \( 1 < x < 2 \): \( g'(x) = 0 \) - Für \( x > 2 \): \( g'(x) = 2 \) **An den Stellen \( x = 1 \) und \( x = 2 \):** - Bei \( x = 1 \): Linksseitige Ableitung ist \(-2\), rechtsseitige ist \(0\) ⇒ **nicht differenzierbar** - Bei \( x = 2 \): Linksseitige Ableitung ist \(0\), rechtsseitige ist \(2\) ⇒ **nicht differenzierbar** **Fazit:** \( g(x) \) ist **differenzierbar für alle \( x \) außer bei \( x = 1 \) und \( x = 2 \)**. An diesen beiden Stellen ist die Funktion **nicht differenzierbar**.

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Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]