Wie lautet die Ableitung von f(x) = Wurzel(2x) unter Verwendung der Kettenregel (innere und äußere Ableitung)?

Gegeben ist die Funktion:
\( f(x) = \sqrt{2x} \)

Das ist eine Verkettung zweier Funktionen:
- **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \)
- **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \)

**1. Ableitung der äußeren Funktion:**
\( g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \)

**2. Ableitung der inneren Funktion:**
\( h'(x) = 2 \)

**Kettenregel:**
\( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

**Einsetzen:**
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \)

**Vereinfachen:**
\( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)

**Antwort:**
Die Ableitung ist
\[
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}
\]

**Innere Ableitung:** \( h'(x) = 2 \)
**Äußere Ableitung:** \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \)
**Gesamte Ableitung:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)