Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?

Question

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?

Antwort

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Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \] mit \( u(x) = (x-3)(x+2) \) \( v(x) = (x+1)(x+5) \) Zuerst die Ableitungen berechnen: **1. \( u(x) \) und \( u'(x) \):** \( u(x) = (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \) \( u'(x) = 2x - 1 \) **2. \( v(x) \) und \( v'(x) \):** \( v(x) = (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5 \) \( v'(x) = 2x + 6 \) **Jetzt die Quotientenregel anwenden:** \[ f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+6x+5) - (x^2-x-6)(2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} \] **Optional: Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:** 1. \((2x-1)(x^2+6x+5) = 2x^3 + 12x^2 + 10x - x^2 - 6x - 5 = 2x^3 + 11x^2 + 4x - 5\) 2. \((x^2-x-6)(2x+6) = (x^2-x-6)2x + (x^2-x-6)6 = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 6x^2 - 6x - 36 = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36\) Jetzt den Zähler zusammenfassen: \[ [2x^3 + 11x^2 + 4x - 5] - [2x^3 + 4x^2 - 18x - 36] = (2x^3 - 2x^3) + (11x^2 - 4x^2) + (4x + 18x) + (-5 + 36) \] \[ = 0x^3 + 7x^2 + 22x + 31 \] **Endergebnis:** \[ \boxed{ f'(x) = \frac{7x^2 + 22x + 31}{(x^2 + 6x + 5)^2} } \]

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Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimmen, um ihren Graphen exakt zeichnen zu können. Die wichtigsten Schritte einer Kurvendiskussion sind: 1. **Definitionsbereich bestimmen:** Für welche x-Werte ist die Funktion definiert? 2. **Symmetrie untersuchen:** Ist die Funktion achsensymmetrisch (gerade), punktsymmetrisch (ungerade) oder hat sie keine Symmetrie? 3. **Nullstellen berechnen:** Für welche x gilt f(x) = 0? 4. **Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte):** Wie verhält sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte? 5. **Ableitungen berechnen:** - **1. Ableitung:** Gibt die Steigung an. - **2. Ableitung:** Gibt die Krümmung an. 6. **Extremstellen bestimmen:** Wo hat die Funktion Hochpunkte, Tiefpunkte oder Sattelpunkte? (Dazu setzt man die 1. Ableitung gleich Null und prüft mit der 2. Ableitung.) 7. **Wendepunkte bestimmen:** Wo ändert sich die Krümmung? (Dazu setzt man die 2. Ableitung gleich Null und prüft mit der 3. Ableitung.) 8. **Verhalten an besonderen Stellen:** Gibt es Asymptoten, Polstellen oder Unstetigkeiten? 9. **Graph zeichnen:** Mit allen gewonnenen Informationen kann der Funktionsgraph möglichst genau gezeichnet werden. Jeder dieser Schritte hilft, die Funktion besser zu verstehen und ihren Verlauf zu beschreiben.

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Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

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Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).

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Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).

Kategorie: Mathematik Tags: Umkehrfunktion Funktion Mathematik

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Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf einen Wert \( y \) abbildet (\( f(x) = y \)), dann ist die Umkehrfunktion \( f^{-1} \) die Funktion, die \( y \) wieder auf \( x \) zurückführt (\( f^{-1}(y) = x \)). Wichtige Eigenschaften: - Eine Funktion besitzt nur dann eine Umkehrfunktion, wenn sie **eineindeutig** (bijektiv) ist, das heißt, jedem \( x \) wird genau ein \( y \) zugeordnet und umgekehrt. - Die Umkehrfunktion „dreht“ die Zuordnung um: \( f(f^{-1}(y)) = y \) und \( f^{-1}(f(x)) = x \). Beispiel: Die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) hat die Umkehrfunktion \( f^{-1}(y) = \frac{y-3}{2} \). Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Umkehrfunktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion).

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Die **Hauptwertfunktion** (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsvorschrift lautet: \[ f(x) = x + 5 \] Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade mit der Steigung 1 und dem y-Achsenabschnitt 5. Falls du nach der Ableitung (Differentialrechnung) fragst: \[ f'(x) = 1 \] Falls du nach etwas anderem mit „hrfunktion“ meinst, bitte präzisiere deine Frage.

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Extremwertaufgaben sind ein zentrales Thema in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Sie beschäftigen sich mit der Frage, wie man den größten oder kleinsten Wert (also ein Maximum oder Minimum) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen findet. **Typischer Ablauf einer Extremwertaufgabe:** 1. **Verständnis des Problems:** Es wird eine Situation beschrieben, in der etwas maximiert oder minimiert werden soll (z.B. maximale Fläche, minimaler Materialverbrauch). 2. **Aufstellen der Zielfunktion:** Du formulierst eine Funktion, die den zu optimierenden Wert beschreibt (z.B. Fläche A(x), Volumen V(x), Kosten K(x)). 3. **Nebenbedingungen berücksichtigen:** Oft gibt es Einschränkungen (z.B. Umfang, Volumen, Budget), die als Gleichung formuliert werden. 4. **Reduktion auf eine Variable:** Mithilfe der Nebenbedingung(en) drückst du die Zielfunktion nur noch durch eine Variable aus. 5. **Ableitung bilden:** Du leitest die Zielfunktion ab, um die Stellen zu finden, an denen sie ein Extremum (Maximum oder Minimum) haben könnte. 6. **Nullstellen der Ableitung berechnen:** Setze die Ableitung gleich Null und löse nach der Variablen auf. Die Lösungen sind die sogenannten kritischen Punkte. 7. **Prüfen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt:** Das kannst du mit der zweiten Ableitung oder durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion prüfen. 8. **Antwort formulieren:** Die gefundene Lösung wird im Kontext der Aufgabe interpretiert. **Beispiel:** Du möchtest ein Rechteck mit maximaler Fläche bauen, wobei der Umfang 20 Meter betragen soll. - Umfang: \( 2x + 2y = 20 \) - Fläche: \( A = x \cdot y \) Mit der Nebenbedingung kannst du z.B. \( y = 10 - x \) setzen und erhältst \( A(x) = x \cdot (10 - x) \). Dann leitest du ab, setzt die Ableitung gleich Null und findest so das Maximum. **Zusammengefasst:** Extremwertaufgaben helfen dir, optimale Lösungen für praktische Probleme zu finden, indem du mathematische Methoden wie Ableitungen und Gleichungen anwendest.

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Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

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6/7 ist ein Bruch und bedeutet „sechs Siebtel“. Das heißt, ein Ganzes wurde in sieben gleich große Teile geteilt, und davon werden sechs Teile betrachtet. Mathematisch entspricht das dem Wert 6 geteilt durch 7, also ungefähr 0,857.

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \... [mehr]

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \( F(x) \) eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f(x) \) ergibt, also gilt: \[ F'(x) = f(x) \] Die allgemeine Form einer Integralfunktion ist: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \text{Stammfunktion von } f(x) + C \] wobei \( C \) eine beliebige Konstante ist (Integrationskonstante). **Beispiel:** Für \( f(x) = 2x \) ist eine Integralfunktion \( F(x) = x^2 + C \), denn die Ableitung von \( x^2 + C \) ist wieder \( 2x \). Integralfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Analysis, insbesondere bei der Berechnung von Flächen und bei der Lösung von Differentialgleichungen.

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Die Zahl 0,009 ist eine Dezimalzahl und entspricht neun Tausendstel. In Bruchschreibweise wäre das: 0,009 = 9/1000 Das bedeutet, dass 0,009 neun Teile von insgesamt tausend Teilen eines Ganzen darstellt.

Kategorie: Mathematik Tags: Dezimalzahl Bruch Umwandlung