2636 Fragen zu Gleichung

Ja, die Begriffe „zur Vergleichung geeignete Schriften“ in § 441 Absatz 2 ZPO gehören zum revisiblen Recht. Begründung: Die Frage, ob eine Schrift „zur Vergleichung geeignet“ ist, betrifft die Auslegung und Anwendung des § 441 Abs. 2 ZPO, also einer bundesrechtlichen Norm. Die Auslegung solcher unbestimmten Rechtsbegriffe ist grundsätzlich revisibel, das heißt, sie unterliegt der Nachprüfung durch das Revisionsgericht (§ 545 ZPO). Die Feststellung, ob ein bestimmtes Schriftstück tatsächlich existiert und wie es beschaffen ist, ist zwar Tatfrage (und damit dem Tatrichter vorbehalten), aber die rechtliche Bewertung, ob es sich dabei um eine „zur Vergleichung geeignete Schrift“ im Sinne des § 441 Abs. 2 ZPO handelt, ist eine Rechtsfrage. Der Bundesgerichtshof (BGH) hat dies mehrfach bestätigt (vgl. etwa BGH, Beschluss vom 19.12.2007 – IV ZR 210/06, Rn. 7; BGH, Urteil vom 18.12.1952 – IV ZR 197/52). Die Auslegung des Begriffs ist also revisibel. **Fazit:** Die Begriffe „zur Vergleichung geeignete Schriften“ in § 441 Abs. 2 ZPO gehören zum revisiblen Recht.

Um die Gleichung \(6a - 21 + 4a + 11 = -2a + 12 + 7a + 8\) mit Äquivalenzumformungen zu lösen, gehe Schritt für Schritt vor: **1. Gleichung aufschreiben:** \[6a - 21 + 4a + 11 = -2a + 12 + 7a + 8\] **2. Gleichartige Terme zusammenfassen:** Linke Seite: - \(6a + 4a = 10a\) - \(-21 + 11 = -10\) Rechte Seite: - \(-2a + 7a = 5a\) - \(12 + 8 = 20\) Jetzt sieht die Gleichung so aus: \[10a - 10 = 5a + 20\] **3. Alle Terme mit \(a\) auf eine Seite, Zahlen auf die andere:** Ziehe \(5a\) von beiden Seiten ab: \[10a - 5a - 10 = 5a - 5a + 20\] \[5a - 10 = 20\] Addiere 10 zu beiden Seiten: \[5a - 10 + 10 = 20 + 10\] \[5a = 30\] **4. Durch 5 teilen:** \[\frac{5a}{5} = \frac{30}{5}\] \[a = 6\] **Lösung:** \(a = 6\)

Die Redoxgleichung für die Reaktion von Natrium (Na) mit Sauerstoff (O₂) zur Bildung von Natriumoxid (Na₂O) lautet: **Ungekürzte Reaktionsgleichung:** \[ 4\,\text{Na} + \text{O}_2 \rightarrow 2\,\text{Na}_2\text{O} \] **Redoxhalbgleichungen:** **Oxidation (Natrium gibt Elektronen ab):** \[ 4\,\text{Na} \rightarrow 4\,\text{Na}^+ + 4\,e^- \] **Reduktion (Sauerstoff nimmt Elektronen auf):** \[ \text{O}_2 + 4\,e^- \rightarrow 2\,\text{O}^{2-} \] **Gesamte Redoxgleichung:** \[ 4\,\text{Na} + \text{O}_2 \rightarrow 2\,\text{Na}_2\text{O} \] Hierbei wird Natrium oxidiert (Elektronenabgabe) und Sauerstoff reduziert (Elektronenaufnahme).

Um die Gleichung zu lösen: \[ \sqrt{3x+1} + 12 = 10 \] Zuerst subtrahiere 12 auf beiden Seiten: \[ \sqrt{3x+1} = 10 - 12 \] \[ \sqrt{3x+1} = -2 \] Da der Ausdruck \(\sqrt{3x+1}\) für reelle Zahlen immer **größer oder gleich 0** ist, gibt es **keine Lösung** für diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen.

Um eine Geradengleichung aufzustellen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, je nachdem, welche Informationen gegeben sind. Die häufigsten Formen sind: **1. Zwei-Punkte-Form:** Sind zwei Punkte \( P_1(x_1, y_1) \) und \( P_2(x_2, y_2) \) gegeben, berechne zuerst die Steigung \( m \): \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Setze dann einen der Punkte und die Steigung in die Punkt-Steigungs-Form ein: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] **2. Steigungsform (y = mx + b):** Wenn die Steigung \( m \) und der y-Achsenabschnitt \( b \) bekannt sind, lautet die Gleichung: \[ y = m x + b \] **3. Allgemeine Form:** Eine Gerade kann auch so geschrieben werden: \[ ax + by + c = 0 \] --- **Prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt:** Setze die Koordinaten des Punktes \( (x_0, y_0) \) in die Geradengleichung ein. - Bei \( y = m x + b \): Setze \( x_0 \) für \( x \) ein und prüfe, ob das Ergebnis gleich \( y_0 \) ist. - Bei \( ax + by + c = 0 \): Setze \( x_0 \) und \( y_0 \) ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist (also das Ergebnis 0 ergibt). **Beispiel:** Gerade: \( y = 2x + 1 \) Punkt: \( (2, 5) \) Einsetzen: \( y = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \) Da das Ergebnis mit der y-Koordinate übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden. --- **Zusammenfassung:** - Geradengleichung aufstellen: Steigung berechnen, in die passende Form einsetzen. - Punkt prüfen: Koordinaten in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.

Um die Gleichung \[ \frac{1}{x+5} = \frac{x}{3} \] nach \( x \) aufzulösen, gehe wie folgt vor: **1. Beide Seiten mit \( 3(x+5) \) multiplizieren, um die Brüche zu beseitigen:** \[ 3(x+5) \cdot \frac{1}{x+5} = 3(x+5) \cdot \frac{x}{3} \] \[ 3 = x(x+5) \] **2. Die Gleichung ausmultiplizieren:** \[ 3 = x^2 + 5x \] **3. Alles auf eine Seite bringen:** \[ x^2 + 5x - 3 = 0 \] **4. Mit der Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) lösen:** \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -3 \): \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2} \] \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2} \] **Lösung:** \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2} \] Das sind die beiden Lösungen für \( x \).

Die Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form lautet: \[ y = m \cdot x + b \] Gegeben: - Steigung \( m = 3 \) - Punkt \( P(2|6) \) Setze die Werte in die Gleichung ein, um \( b \) zu berechnen: \[ 6 = 3 \cdot 2 + b \\ 6 = 6 + b \\ b = 0 \] Die Gleichung der Geraden lautet also: \[ \boxed{y = 3x} \]

Um das Additionsverfahren (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt. Die Gleichungen sind: I: 4x + 5y = 34 II: 13y – 2x = 4 Ziel: Eine Variable eliminieren. Dazu bringen wir die Gleichungen so, dass die x-Terme oder y-Terme beim Addieren entfallen. **Schritt 1: Beide Gleichungen so umformen, dass die x-Terme gleich groß (aber entgegengesetzt) sind.** Gleichung I: 4x + 5y = 34 Gleichung II: –2x + 13y = 4 Multipliziere Gleichung II mit 2, damit der x-Term –4x ergibt: II * 2: –4x + 26y = 8 Jetzt hast du: I: 4x + 5y = 34 II: –4x + 26y = 8 **Schritt 2: Addiere beide Gleichungen:** (4x + 5y) + (–4x + 26y) = 34 + 8 4x – 4x + 5y + 26y = 42 0x + 31y = 42 31y = 42 y = 42 / 31 y ≈ 1,3548 **Schritt 3: y in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen (z.B. Gleichung I):** 4x + 5y = 34 4x + 5*(42/31) = 34 4x + 210/31 = 34 4x = 34 – 210/31 4x = (34*31 – 210) / 31 4x = (1054 – 210) / 31 4x = 844 / 31 x = (844 / 31) / 4 x = 844 / 124 x = 211 / 31 x ≈ 6,806 **Lösung:** x = 211/31 ≈ 6,806 y = 42/31 ≈ 1,355 Das ist die Lösung des Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren.

Gegeben ist die Gleichung: **2x - y - 7 = 0** bzw. umgestellt: **y = 2x - 7** Nun die fehlenden Werte ergänzen: a) (4; ■) y = 2·4 - 7 = 8 - 7 = **1** → (4; **1**) b) (5; ) y = 2·5 - 7 = 10 - 7 = **3** → (5; **3**) c) (6; ) y = 2·6 - 7 = 12 - 7 = **5** → (6; **5**) d) (; 11) 11 = 2x - 7 2x = 11 + 7 = 18 x = 18 / 2 = **9** → (**9**; 11) e) (; 13) 13 = 2x - 7 2x = 13 + 7 = 20 x = 20 / 2 = **10** → (**10**; 13) **Zusammengefasst:** a) (4; **1**) b) (5; **3**) c) (6; **5**) d) (**9**; 11) e) (**10**; 13)

Bezeichnen wir die gesuchte Zahl mit \( x \). Laut Aufgabenstellung: Wenn du die Hälfte der gesuchten Zahl von 1000 subtrahierst, erhältst du 747. Das bedeutet: \( 1000 - \frac{1}{2}x = 747 \) Nun lösen wir die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 747 von beiden Seiten: \( 1000 - 747 = \frac{1}{2}x \) \( 253 = \frac{1}{2}x \) 2. Multipliziere beide Seiten mit 2, um \( x \) zu isolieren: \( 2 \times 253 = x \) \( 506 = x \) **Antwort:** Die gesuchte Zahl ist **506**. **Rechenweg zusammengefasst:** 1. \( 1000 - \frac{1}{2}x = 747 \) 2. \( 253 = \frac{1}{2}x \) 3. \( x = 506 \)

Wenn Essigsäure (chemische Formel: CH₃COOH) mit Magnesium (Mg) reagiert, entsteht Magnesiumacetat (CH₃COO)₂Mg und Wasserstoffgas (H₂). Die Reaktionsgleichung lautet: **Ungekürzt:** \[ 2 \ \mathrm{CH_3COOH} + \mathrm{Mg} \rightarrow (\mathrm{CH_3COO})_2\mathrm{Mg} + \mathrm{H_2} \uparrow \] Dabei wird das Magnesium von der Essigsäure unter Bildung von Magnesiumacetat gelöst, und es entsteht gasförmiger Wasserstoff.

Die Dissoziationsgleichung für Essigsäure (CH₃COOH) in Wasser lautet: CH₃COOH + H₂O ⇌ CH₃COO⁻ + H₃O⁺ Dabei gibt Essigsäure ein Proton (H⁺) an das Wassermolekül ab, wodurch Acetat-Ionen (CH₃COO⁻) und Oxonium-Ionen (H₃O⁺) entstehen.

Die Reaktionsgleichung zwischen Kupfersulfid (CuS), Ammoniumsulfid ((NH₄)₂S) und Salzsäure (HCl) sieht folgendermaßen aus: **1. Schritt: Überlegung der möglichen Reaktionen** - **CuS** ist in Wasser schwer löslich, kann aber durch starke Säuren wie HCl teilweise aufgelöst werden. - **(NH₄)₂S** ist ein lösliches Sulfid, das in wässriger Lösung Sulfidionen (S²⁻) und Ammoniumionen (NH₄⁺) liefert. - **HCl** ist eine starke Säure. **2. Mögliche Reaktionen:** a) **CuS + 2 HCl → CuCl₂ + H₂S↑** Kupfersulfid reagiert mit Salzsäure zu Kupfer(II)-chlorid und Schwefelwasserstoffgas. b) **(NH₄)₂S + 2 HCl → 2 NH₄Cl + H₂S↑** Ammoniumsulfid reagiert mit Salzsäure zu Ammoniumchlorid und Schwefelwasserstoffgas. **3. Gesamtreaktion:** Wenn alle drei Stoffe zusammengegeben werden, laufen beide Reaktionen parallel ab. Es entstehen Kupfer(II)-chlorid, Ammoniumchlorid und Schwefelwasserstoffgas: **CuS + (NH₄)₂S + 4 HCl → CuCl₂ + 2 NH₄Cl + 2 H₂S↑** **Zusammengefasst:** **Edukte:** CuS + (NH₄)₂S + 4 HCl **Produkte:** CuCl₂ + 2 NH₄Cl + 2 H₂S↑ **Hinweis:** Schwefelwasserstoff (H₂S) ist ein giftiges und übelriechendes Gas. Die Reaktion sollte nur unter geeigneten Sicherheitsvorkehrungen durchgeführt werden.

Die Reaktionsgleichung lautet: HCl + NaOH → NaCl + H₂O Um zu überprüfen, ob die Gleichung ausgeglichen ist, zählt man die Atome auf beiden Seiten: **Edukte (links):** - H: 1 (aus HCl) + 1 (aus NaOH) = 2 - Cl: 1 (aus HCl) - Na: 1 (aus NaOH) - O: 1 (aus NaOH) **Produkte (rechts):** - Na: 1 (aus NaCl) - Cl: 1 (aus NaCl) - H: 2 (aus H₂O) - O: 1 (aus H₂O) Alle Atome sind auf beiden Seiten gleich oft vorhanden. **Die Gleichung ist also ausgeglichen.**

In Reaktionsgleichungen werden Sauerstoffatome oft mit unterschiedlichen Farben dargestellt, um ihre Herkunft oder ihren Verbleib im Reaktionsverlauf zu verdeutlichen. Zum Beispiel kann ein Sauerstoffatom aus einem Edukt (Ausgangsstoff) in einer Farbe (z. B. rot) und ein Sauerstoffatom aus einem anderen Edukt oder Molekül in einer anderen Farbe (z. B. blau) gezeigt werden. Die Bedeutung der zwei Farben ist also: - **Unterscheidung der Herkunft:** Die Farben zeigen, aus welchem Molekül oder Edukt die jeweiligen Sauerstoffatome stammen. - **Verfolgung im Reaktionsverlauf:** Sie helfen dabei, nachzuvollziehen, wie sich die Atome während der Reaktion umgruppieren und in welchen Produkten sie wiederzufinden sind. Das ist besonders bei komplexeren Reaktionen oder Mechanismen hilfreich, um den Atomaustausch und die Umgruppierung anschaulich darzustellen.