Wie leite ich aus der Gleichung für die Auslenkung die Gleichung für die Energie Epot = Eges∙sin^2(ω·t) her?

Um die Gleichung für die potentielle Energie \( E_{\text{pot}} = E_{\text{ges}} \cdot \sin^2(\omega \cdot t) \) herzuleiten, beginnen wir mit der Auslenkung einer harmonischen Schwingung und der Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators.

1. **Auslenkung einer harmonischen Schwingung:**
Die Auslenkung \( x(t) \) eines harmonischen Oszillators kann durch die Gleichung
\[
x(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t)
\]
beschrieben werden, wobei \( A \) die Amplitude und \( \omega \) die Kreisfrequenz ist.

2. **Gesamtenergie des harmonischen Oszillators:**
Die Gesamtenergie \( E_{\text{ges}} \) eines harmonischen Oszillators setzt sich aus der kinetischen Energie \( E_{\text{kin}} \) und der potentiellen Energie \( E_{\text{pot}} \) zusammen. Diese Gesamtenergie bleibt konstant und ist gegeben durch
\[
E_{\text{ges}} = \frac{1}{2} k A^2,
\]
wobei \( k \) die Federkonstante ist.

3. **Potentielle Energie:**
Die potentielle Energie eines harmonischen Oszillators ist gegeben durch
\[
E_{\text{pot}} = \frac{1}{2} k x(t)^2.
\]
Setzen wir die Auslenkung \( x(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t) \) in diese Gleichung ein, erhalten wir:
\[
E_{\text{pot}} = \frac{1}{2} k (A \cdot \sin(\omega \cdot t))^2.
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
E_{\text{pot}} = \frac{1}{2} k A^2 \cdot \sin^2(\omega \cdot t).
\]

4. **Beziehung zur Gesamtenergie:**
Da die Gesamtenergie \( E_{\text{ges}} \) gleich \(\frac{1}{2} k A^2 \) ist, können wir dies in die obige Gleichung einsetzen:
\[
E_{\text{pot}} = E_{\text{ges}} \cdot \sin^2(\omega \cdot t).
\]

Damit ist die Gleichung für die potentielle Energie \( E_{\text{pot}} = E_{\text{ges}} \cdot \sin^2(\omega \cdot t) \) hergeleitet.