167 Fragen zu Gleichungen

Rein quadratische Gleichungen, also Gleichungen der Form \(ax^2 + bx + c 0\), wurden nicht von einer einzelnen Person erfunden, sondern entwickelten sich über die Zeit durch die Arbeit vieler Mathematiker. Die frühesten bekannten Arbeiten zu quadratischen Gleichungen stammen aus dem antiken Babylonien, etwa 2000 v. Chr. Die Babylonier hatten Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen, die sie in Tontafeln festhielten. Später trugen griechische Mathematiker wie Euklid und Diophantus zur Theorie der quadratischen Gleichungen bei. Im Mittelalter entwickelten islamische Gelehrte wie Al-Chwarizmi systematische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen, die in seinem Buch "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" beschrieben sind. Dieses Werk gilt als eine der wichtigsten Quellen für die Entwicklung der Algebra. Die moderne Form der quadratischen Gleichung und die allgemeine Lösungsformel, die wir heute kennen, wurden im Laufe der Renaissance in Europa weiterentwickelt und formalisiert.

Um eine Gleichung des Typs \( ax + b = c \) umzuformen und nach \( x \) aufzulösen, folge diesen Schritten: 1. **Subtrahiere \( b \) von beiden Seiten der Gleichung:** \[ ax + b - b = c - b \] Das vereinfacht sich zu: \[ ax = c - b \] 2. **Teile beide Seiten der Gleichung durch \( a \):** \[ \frac{ax}{a} = \frac{c - b}{a} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = \frac{c - b}{a} \] Damit hast du die Gleichung nach \( x \) umgeformt.

Ja, eine Gerade kann durch verschiedene Gleichungen dargestellt werden. Hier sind zwei gängige Methoden: 1. **Explizite Form (Steigungsform):** Die Gleichung einer Geraden in der expliziten Form lautet: \[ y = mx + b \] wobei \( m \) die Steigung der Geraden und \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. 2. **Implizite Form (Allgemeine Form):** Die Gleichung einer Geraden in der impliziten Form lautet: \[ Ax + By + C = 0 \] wobei \( A \), \( B \) und \( C \) Konstanten sind. Beide Formen beschreiben dieselbe Gerade, aber auf unterschiedliche Weise. Zum Beispiel, wenn du die explizite Form \( y = 2x + 3 \) hast, kannst du sie in die implizite Form umwandeln, indem du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringst: \[ 2x - y + 3 = 0 \] Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

Gleichungen sind mathematische Ausdrücke, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen (=) miteinander verbinden. Sie stellen eine Beziehung dar, bei der die beiden Seiten des Gleichheitszeichens denselben Wert haben. Hier sind einige grundlegende Konzepte zu Gleichungen: 1. **Lineare Gleichungen**: Diese haben die Form \(ax + b = c\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) Konstanten sind und \(x\) die Variable ist. Ein Beispiel wäre \(2x + 3 = 7\). 2. **Quadratische Gleichungen**: Diese haben die Form \(ax^2 + bx + c = 0\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) Konstanten sind. Ein Beispiel wäre \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 3. **Lösungen von Gleichungen**: Die Lösung einer Gleichung ist der Wert der Variablen, der die Gleichung wahr macht. Zum Beispiel ist die Lösung der Gleichung \(2x + 3 = 7\) \(x = 2\), weil \(2 \cdot 2 + 3 = 7\). 4. **Äquivalenzumformungen**: Um eine Gleichung zu lösen, kannst du Äquivalenzumformungen verwenden, die die Gleichung in eine einfachere Form bringen, ohne die Lösung zu verändern. Dazu gehören: - Addition oder Subtraktion derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung. - Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl (außer Null). 5. **Systeme von Gleichungen**: Manchmal musst du mehrere Gleichungen gleichzeitig lösen. Diese Systeme können linear oder nichtlinear sein und erfordern spezielle Methoden wie das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Gleichungen sind ein zentrales Konzept in der Mathematik und finden Anwendung in vielen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft.

Um die Gleichungen so umzuformen, dass auf einer Seite null steht, und sie dann zu lösen, gehe wie folgt vor: a) \(42x = x^2\) 1. Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[x^2 - 42x = 0\] 2. Faktorisieren: \[x(x - 42) = 0\] 3. Setze jeden Faktor gleich null und löse: \[x = 0 \quad \text{oder} \quad x - 42 = 0\] \[x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 42\] Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = 42\). b) \(-x^2 = 2,5x\) 1. Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[-x^2 - 2,5x = 0\] 2. Faktorisieren: \[-x(x + 2,5) = 0\] 3. Setze jeden Faktor gleich null und löse: \[-x = 0 \quad \text{oder} \quad x + 2,5 = 0\] \[x = 0 \quad \text{oder} \quad x = -2,5\] Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = -2,5\).

Um die Lösung für das Gleichungssystem zu finden, subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: 1. \( X + 2Y = 1 \) 2. \( X + 2Y = 2 \) Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \( (X + 2Y) - (X + 2Y) = 1 - 2 \) Das ergibt: \( 0 = -1 \) Diese Aussage ist offensichtlich falsch, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Die beiden Gleichungen sind widersprüchlich und daher inkonsistent.

Um die Gleichungen \(x + y = 10\) und \(x \cd y = 25\) zu, kannst du die erste Gleichung nach \(y\) umstellen: 1. \(y = 10 - x\) Setze \(y\) in die zweite Gleichung ein: 2. \(x \cdot (10 - x) = 25\) Das ergibt: 3. \(10x - x^2 = 25\) Umformen zu einer Standardform: 4. \(x^2 - 10x + 25 = 0\) Diese Gleichung kann als Quadrat erkannt werden: 5. \((x - 5)^2 = 0\) Das bedeutet: 6. \(x - 5 = 0\) oder \(x = 5\) Setze \(x = 5\) in die Gleichung für \(y\) ein: 7. \(y = 10 - 5 = 5\) Die Lösung ist also: \(x = 5\) und \(y = 5\).

Um die Determinante des gegebenen Systems von Gleichungen zu bestimmen, müssen wir zuerst die Koeffizientenmatrix aufstellen. Die Gleichungen sind: 1. \(5x + y = 2\) 2. \(y = 7x - 22\) Zuerst bringen wir die zweite Gleichung in die Standardform: \(7x - y = 22\) Jetzt haben wir das System: 1. \(5x + y = 2\) (Gleichung 1) 2. \(7x - y = 22\) (Gleichung 2) Die Koeffizientenmatrix \(A\) ist dann: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \] Die Determinante \(det(A)\) wird berechnet als: \[ det(A) = (5 \cdot -1) - (1 \cdot 7) = -5 - 7 = -12 \] Die Determinante des Systems ist also \(-12\).

Um die Gleichungen zu lösen, gehe Schritt für Schritt vor: 1. **Gleichung 1:** \[ 5(5x - 12) = 4(2x - 8) - (3x + 4) \] Verteile die Klammern: \[ 25x - 60 = 8x - 32 - 3x - 4 \] Fasse die Terme auf der rechten Seite zusammen: \[ 25x - 60 = 5x - 36 \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 25x - 5x = -36 + 60 \] \[ 20x = 24 \] Teile durch 20: \[ x = \frac{24}{20} = 1.2 \] 2. **Gleichung 2:** \[ (x + 2)(3x - 6) = x(3x + 2) \] Verteile die Klammern: \[ 3x^2 - 6x + 6x - 12 = 3x^2 + 2x \] Fasse die Terme zusammen: \[ 3x^2 - 12 = 3x^2 + 2x \] Bringe alle Terme auf eine Seite: \[ 3x^2 - 3x^2 - 12 - 2x = 0 \] \[ -12 - 2x = 0 \] Löse nach \(x\) auf: \[ -2x = 12 \] \[ x = -6 \] 3. **Gleichung 3:** \[ 2x + 3(x - 2) = (4 - x)(5 - 2) + 1 \] Verteile die Klammern: \[ 2x + 3x - 6 = (4 - x) \cdot 3 + 1 \] \[ 5x - 6 = 12 - 3x + 1 \] Fasse die Terme zusammen: \[ 5x - 6 = 13 - 3x \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 5x + 3x = 13 + 6 \] \[ 8x = 19 \] Teile durch 8: \[ x = \frac{19}{8} = 2.375 \] 4. **Gleichung 4:** \[ 13(4x + 2) = 18(10x + 7) + 9(6x - 1) \] Verteile die Klammern: \[ 52x + 26 = 180x + 126 + 54x - 9 \] Fasse die Terme zusammen: \[ 52x + 26 = 234x + 117 \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 52x - 234x = 117 - 26 \] \[ -182x = 91 \] Teile durch -182: \[ x = \frac{91}{-182} = -0.5 \] Die Lösungen der Gleichungen sind: 1. \( x = 1.2 \) 2. \( x = -6 \) 3. \( x = 2.375 \) 4. \( x = -0.5 \)

Um diese Gleichungen zu lösen, gehe Schritt für Schritt vor: 1. **Gleichung 1:** \[ 5(5x - 12) = 4(2x - 8) - (3x + 4) \] Verteile die Klammern: \[ 25x - 60 = 8x - 32 - 3x - 4 \] Fasse die Terme auf der rechten Seite zusammen: \[ 25x - 60 = 5x - 36 \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 25x - 5x = -36 + 60 \] \[ 20x = 24 \] Teile durch 20: \[ x = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2 \] 2. **Gleichung 2:** \[ (x + 2)(3x - 6) = x(3x + 2) \] Verteile die Klammern: \[ 3x^2 - 6x + 6x - 12 = 3x^2 + 2x \] Fasse die Terme zusammen: \[ 3x^2 - 12 = 3x^2 + 2x \] Bringe alle Terme auf eine Seite: \[ 3x^2 - 3x^2 - 12 = 2x \] \[ -12 = 2x \] Teile durch 2: \[ x = -6 \] 3. **Gleichung 3:** \[ 2x + 3(x - 2) = (4 - x)(5 - 2) + 1 \] Verteile die Klammern: \[ 2x + 3x - 6 = (4 - x) \cdot 3 + 1 \] \[ 5x - 6 = 12 - 3x + 1 \] Fasse die Terme auf der rechten Seite zusammen: \[ 5x - 6 = 13 - 3x \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 5x + 3x = 13 + 6 \] \[ 8x = 19 \] Teile durch 8: \[ x = \frac{19}{8} = 2.375 \] 4. **Gleichung 4:** \[ 13(4x + 2) = 18(10x + 7) + 9(6x - 1) \] Verteile die Klammern: \[ 52x + 26 = 180x + 126 + 54x - 9 \] Fasse die Terme auf der rechten Seite zusammen: \[ 52x + 26 = 234x + 117 \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 52x - 234x = 117 - 26 \] \[ -182x = 91 \] Teile durch -182: \[ x = \frac{91}{-182} = -\frac{1}{2} = -0.5 \] Zusammengefasst sind die Lösungen: 1. \( x = 1.2 \) 2. \( x = -6 \) 3. \( x = 2.375 \) 4. \( x = -0.5 \)

Um das Einsetzungsverfahren zu verwenden, wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und dann in die andere Gleichung eingesetzt. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Die erste Gleichung nach \( x \) auflösen: \[ x + 4y = -2 \] \[ x = -2 - 4y \] 2. Den Ausdruck für \( x \) in die zweite Gleichung einsetzen: \[ 4x + 7y = 10 \] \[ 4(-2 - 4y) + 7y = 10 \] \[ -8 - 16y + 7y = 10 \] \[ -8 - 9y = 10 \] \[ -9y = 18 \] \[ y = -2 \] 3. Den Wert von \( y \) in die umgestellte erste Gleichung einsetzen, um \( x \) zu finden: \[ x = -2 - 4(-2) \] \[ x = -2 + 8 \] \[ x = 6 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 6 \] \[ y = -2 \]

Um das Gleichungssystem zu lösen, setzen wir die zweite Gleichung \( y = 4x \) in die erste Gleichung \( 3x - y = 21 \) ein. 1. Ersetze \( y \) in der ersten Gleichung: \[ 3x - 4x = 21 \] 2. Vereinfache die Gleichung: \[ -x = 21 \] 3. Multipliziere beide Seiten mit -1: \[ x = -21 \] 4. Setze \( x \) in die zweite Gleichung ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 4(-21) = -84 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -21, \quad y = -84 \]

Die allgemeine Formel zur Bestimmung des Nullpunktes (x-Asen-Schnittpunkt) einer linearen Gleichung in der Form \(y = mx + b\) lautet: \[ x = -\frac{b}{m} \] Hierbei ist \(m\) die Steigung der Geraden und \(b\) der y-Achsenabschnitt. Der Nullpunkt ist der Wert von \(x\), bei dem \(y = 0\).

Um das Gleichungssystem zu lösen, kannst du die beiden Gleichungen verwenden: 1. \(5x - 10y = 20\) 2. \(-3x + 6y = -10\) Zuerst kannst du die erste Gleichung nach \(x\) umstellen: \[ 5x = 10y + 20 \implies x = 2y + 4 \] Jetzt setzt du \(x\) in die zweite Gleichung ein: \[ -3(2y + 4) + 6y = -10 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -6y - 12 + 6y = -10 \] Die \(y\)-Terme heben sich auf, und du erhältst: \[ -12 = -10 \] Das ist eine falsche Aussage, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Die beiden Gleichungen sind parallel und schneiden sich nicht.

Um das Gleichungssystem zu lösen, du die beiden Gleich aufstellen und dann Werte für \(x\) und \(y\). Die Gleichungen sind: 1. \(x + 5y 38\) 2. \(y = 6x + 1\) Setze die zweite Gleichung in die erste ein: \(3x + 5(6x + 1) = \) Das vereinfacht sich zu: \(3x + 30x + 5 = 38\) Kombiniere die \(x\)-Terme: \(33x + 5 = 38\) Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \(33x = 33\) Teile durch 33: \(x = 1\) Setze \(x = 1\) in die zweite Gleichung ein, um \(y\) zu finden: \(y = 6(1) + 1 = 6 + 1 = 7\) Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \(x = 1\) und \(y = 7\).