Wie setze ich den Punkt (0/0) in die Gleichung y = f'(u) • (x - u) + f(u) ein? Außerdem ist die Gleichung g = 0,2 • (x + 1)² - 3 gegeben.

Question

Wie setze ich den Punkt (0/0) in die Gleichung y = f'(u) • (x - u) + f(u) ein? Außerdem ist die Gleichung g = 0,2 • (x + 1)² - 3 gegeben.

Antwort

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Accepted Answer

Um den Punkt (0,0) in die Gleichung \( y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u) \) einzusetzen, müssen die Werte für \( x \) und \( y \) durch 0 ersetzt werden. Das ergibt: \[ 0 = f'(u) \cdot (0 - u) + f(u) \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0 = -u \cdot f'(u) + f(u) \] oder \[ u \cdot f'(u) = f(u) \] Nun zur gegebenen Gleichung \( g = 0,2 \cdot (x + 1)^2 - 3 \): Um den Punkt (0,0) in diese Gleichung einzusetzen, setze \( x = 0 \) und \( g = 0 \): \[ 0 = 0,2 \cdot (0 + 1)^2 - 3 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0 = 0,2 \cdot 1 - 3 \] \[ 0 = 0,2 - 3 \] \[ 0 = -2,8 \] Da dies offensichtlich nicht stimmt, bedeutet das, dass der Punkt (0,0) nicht auf der Kurve \( g = 0,2 \cdot (x + 1)^2 - 3 \) liegt.

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten des Punktes.** Zum Beispiel: \( P(1|5) \) 3. **Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.** \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) 4. **Vergleiche das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.** Wenn \( f(1) = 5 \) und der Punkt \( P(1|5) \) ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen. **Allgemein:** Ein Punkt \( P(x_0|y_0) \) liegt auf dem Graphen der Funktion \( f(x) \), wenn gilt: \( f(x_0) = y_0 \) **Beispiel mit einer anderen Funktion:** Funktion: \( f(x) = x^2 \) Punkt: \( Q(2|4) \) Prüfung: \( f(2) = 2^2 = 4 \) → Punkt liegt auf dem Graphen. **Zusammenfassung:** Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Ist das Ergebnis gleich dem y-Wert des Punktes, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \] mit \( u(x) = (x-3)(x+2) \) \( v(x) = (x+1)(x+5) \) Zuerst die Ableitungen berechnen: **1. \( u(x) \) und \( u'(x) \):** \( u(x) = (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \) \( u'(x) = 2x - 1 \) **2. \( v(x) \) und \( v'(x) \):** \( v(x) = (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5 \) \( v'(x) = 2x + 6 \) **Jetzt die Quotientenregel anwenden:** \[ f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+6x+5) - (x^2-x-6)(2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} \] **Optional: Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:** 1. \((2x-1)(x^2+6x+5) = 2x^3 + 12x^2 + 10x - x^2 - 6x - 5 = 2x^3 + 11x^2 + 4x - 5\) 2. \((x^2-x-6)(2x+6) = (x^2-x-6)2x + (x^2-x-6)6 = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 6x^2 - 6x - 36 = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36\) Jetzt den Zähler zusammenfassen: \[ [2x^3 + 11x^2 + 4x - 5] - [2x^3 + 4x^2 - 18x - 36] = (2x^3 - 2x^3) + (11x^2 - 4x^2) + (4x + 18x) + (-5 + 36) \] \[ = 0x^3 + 7x^2 + 22x + 31 \] **Endergebnis:** \[ \boxed{ f'(x) = \frac{7x^2 + 22x + 31}{(x^2 + 6x + 5)^2} } \]

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Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

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Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve an einem bestimmten Punkt von einer Geraden unterscheidet, also wie „gekrümmt“ oder „gebogen“ sie dort ist. Mathema... [mehr]

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Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve an einem bestimmten Punkt von einer Geraden unterscheidet, also wie „gekrümmt“ oder „gebogen“ sie dort ist. Mathematisch ist die Krümmung ein Maß dafür, wie schnell sich die Richtung der Tangente an die Kurve beim Bewegen entlang der Kurve ändert. Im Kontext der Bewegung eines Punktes (z.B. bei der Erzeugung von Kurven wie Kreisen, Parabeln, Ellipsen usw.) ist die Methode zur Erzeugung oft ähnlich: Ein Punkt bewegt sich nach bestimmten Regeln im Raum. Das Ergebnis – also die Form der Kurve – unterscheidet sich durch die jeweilige Krümmung an den einzelnen Punkten. **Was beschreibt die Krümmung konkret?** - **Bei einem Kreis** ist die Krümmung überall gleich groß (konstant), weil der Kreis überall gleich „rund“ ist. - **Bei einer Geraden** ist die Krümmung überall null, weil sich die Richtung der Tangente nie ändert. - **Bei einer Parabel oder Ellipse** ändert sich die Krümmung von Punkt zu Punkt: An den „spitzeren“ Stellen ist sie größer, an den „flacheren“ kleiner. **Mathematisch** wird die Krümmung einer ebenen Kurve oft als Kehrwert des Krümmungsradius angegeben. Sie kann mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung der Kurvengleichung berechnet werden. **Zusammengefasst:** Die Krümmung beschreibt, wie stark und an welcher Stelle sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Sie ist das entscheidende Merkmal, das verschiedene Kurvenformen voneinander unterscheidet, auch wenn die Methode zur Erzeugung (Bewegung eines Punktes) ähnlich ist.

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Kategorie: Mathematik Tags: Gleichung Malnehmen Unbekannte

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Um den Abstand eines Punktes zum Ursprung im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Für einen Punkt \( P(x, y) \) in der Ebene (2D) berechnet sich der Abstand \( d... [mehr]

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Um den Abstand eines Punktes zum Ursprung im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Für einen Punkt \( P(x, y) \) in der Ebene (2D) berechnet sich der Abstand \( d \) zum Ursprung \( (0, 0) \) so: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] Für einen Punkt \( P(x, y, z) \) im Raum (3D) gilt: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Du setzt einfach die Koordinaten des Punktes in die jeweilige Formel ein und erhältst den Abstand.

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Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

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Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast... [mehr]

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Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Kategorie: Mathematik Tags: Ableitung Exponentialfunktion Mathematik