4 Fragen zu Produktregel

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \) zu berechnen, wird die Produktregel verwendet. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts von Funktionen \( u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \) wie folgt berechnet wird: \[ (u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w' \] Setze \( u(x) = x^6 \), \( v(x) = 3^x \) und \( w(x) = \sin(x) \). 1. Berechne die Ableitungen der einzelnen Funktionen: - \( u'(x) = 6x^5 \) - \( v'(x) = 3^x \ln(3) \) - \( w'(x) = \cos(x) \) 2. Setze die Ableitungen in die Produktregel ein: \[ f'(x) = (x^6)' \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot (3^x)' \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot (\sin(x))' \] \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] 3. Fasse die Terme zusammen: \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \).

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = 2e^{2x} (x \cdot x^2) \) zu bestimmen, kannst du die Produktregel und die Kettenregel anwenden. Zuerst vereinfachen wir die Funktion: \[ f(x) = 2e^{2x} (x^3) \] Jetzt wenden wir die Produktregel an, die besagt, dass die Ableitung von \( u \cdot v \) gegeben ist durch \( u'v + uv' \), wobei \( u = 2e^{2x} \) und \( v = x^3 \). 1. Berechne \( u' \): \[ u' = 2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x} \] 2. Berechne \( v' \): \[ v' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \] Jetzt setzen wir alles in die Produktregel ein: \[ f'(x) = u'v + uv' = (4e^{2x})(x^3) + (2e^{2x})(3x^2) \] Das vereinfacht sich zu: \[ f'(x) = 4e^{2x} x^3 + 6e^{2x} x^2 \] Du kannst auch \( e^{2x} \) und \( x^2 \) ausklammern: \[ f'(x) = e^{2x} (4x^3 + 6x^2) \] Das ist die Ableitung der gegebenen Funktion.