Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = x^2 \cdot e^{2x} \) 1. Ableitung \( f'(x) \): Hier wird die Produktregel benötigt: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \) Setze:...
Was ist die Produktregel?
Antwort vomDie Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.
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