Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(...
Was ist die Ableitung von (x^6)*(3^x)*sin(x)?
Antwort vomUm die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \) zu berechnen, wird die Produktregel verwendet. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts von Funktionen \( u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \) wie folgt berechnet wird: \[ (u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w' \] Setze \( u(x) = x^6 \), \( v(x) = 3^x \) und \( w(x) = \sin(x) \). 1. Berechne die Ableitungen der einzelnen Funktionen: - \( u'(x) = 6x^5 \) - \( v'(x) = 3^x \ln(3) \) - \( w'(x) = \cos(x) \) 2. Setze die Ableitungen in die Produktregel ein: \[ f'(x) = (x^6)' \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot (3^x)' \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot (\sin(x))' \] \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] 3. Fasse die Terme zusammen: \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \).
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