Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(... [mehr]
Was ist die Ableitung von (x^6)*(3^x)*sin(x)?
AntwortUm die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \) zu berechnen, wird die Produktregel verwendet. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts von Funktionen \( u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \) wie folgt berechnet wird: \[ (u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w' \] Setze \( u(x) = x^6 \), \( v(x) = 3^x \) und \( w(x) = \sin(x) \). 1. Berechne die Ableitungen der einzelnen Funktionen: - \( u'(x) = 6x^5 \) - \( v'(x) = 3^x \ln(3) \) - \( w'(x) = \cos(x) \) 2. Setze die Ableitungen in die Produktregel ein: \[ f'(x) = (x^6)' \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot (3^x)' \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot (\sin(x))' \] \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] 3. Fasse die Terme zusammen: \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \).
Verwandte Fragen
Was ist eine Kurvendiskussion?
Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm... [mehr]
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?
Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x... [mehr]
Was ist die Produktregel?
Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast... [mehr]
Was ist die Umkehrfunktion von -x?
Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Was ist eine Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf... [mehr]
Was ist die Heaviside-Funktion von x+5?
Die **Hauptwertfunktion** (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsv... [mehr]
Was sind Extremwertaufgaben?
Extremwertaufgaben sind ein zentrales Thema in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Sie beschäftigen sich mit der Frage, wie man den größten oder kleinsten Wert (also ein Maxi... [mehr]
Wie kann ich eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung verwenden?
Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]
Was ist eine Integralfunktion?
Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \... [mehr]
