6 Fragen zu Zufallsvariable

Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable ist die Anzahl der Augen, die beim Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels erscheinen. Diese Zufallsvariable kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.

Ja, das ist korrekt. Für eine diskrete Zufallsvariable \(X\) mit der Verteilungsfunktion \(F(x)\) gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) einen Wert zwischen \(c\) und \(d\) annimmt, durch die Differenz der Verteilungsfunktionen an den Punkten \(d\) und \(c\) gegeben ist. Das bedeutet: \[ P(c < X < d) = F(d) - F(c) \] Allerdings ist zu beachten, dass bei diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) genau den Wert \(c\) oder \(d\) annimmt, nicht in dieser Gleichung enthalten ist. Daher ist es wichtig, die Definition der Intervalle zu berücksichtigen. In der Regel wird bei diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit für \(P(c < X < d)\) als \(P(X \leq d) - P(X \leq c)\) interpretiert, was in der Praxis oft zu \(F(d) - F(c)\) führt, wenn \(c\) und \(d\) nicht in den Werten von \(X\) liegen.

Um \( P(X > 2) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20) und \( p = 0,2 \) zu berechnen, kann man die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X > 2) \) ist gleich \( 1 - P(X \leq 2) \). 1. Berechne \( P(X \leq 2) \) mit der Binomialverteilung: \[ P(X \leq 2) = \sum_{k=0}^{2} \binom{20}{k} p^k (1-p)^{20-k} \] 2. Setze die Werte ein: \[ P(X \leq 2) = \binom{20}{0} (0,2)^0 (0,8)^{20} + \binom{20}{1} (0,2)^1 (0,8)^{19} + \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} \] 3. Berechne die einzelnen Terme: \[ \binom{20}{0} (0,8)^{20} = 1 \cdot 0,8^{20} \approx 0,0115 \] \[ \binom{20}{1} (0,2) (0,8)^{19} = 20 \cdot 0,2 \cdot 0,8^{19} \approx 0,0576 \] \[ \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} = 190 \cdot 0,04 \cdot 0,8^{18} \approx 0,1369 \] 4. Summiere die Wahrscheinlichkeiten: \[ P(X \leq 2) \approx 0,0115 + 0,0576 + 0,1369 = 0,2060 \] 5. Berechne \( P(X > 2) \): \[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) \approx 1 - 0,2060 = 0,7940 \] Also ist \( P(X > 2) \) ungefähr 0,7940.

Um die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20 \) und \( p = 0.2 \) zu berechnen, kann die kumulative Verteilungsfunktion der Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq k) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n \) und \( p \) ist gegeben durch: \[ P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \] Für \( n = 20 \), \( p = 0.2 \) und \( k = 12 \) ergibt sich: \[ P(X \leq 12) = \sum_{i=0}^{12} \binom{20}{i} (0.2)^i (0.8)^{20-i} \] Diese Berechnung kann manuell sehr aufwendig sein, daher wird in der Praxis oft eine Tabelle der kumulativen Binomialverteilung oder ein Taschenrechner/Software verwendet, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Mit einem geeigneten Taschenrechner oder einer Software wie R oder Python kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden: In R: ```R pbinom(12, size = 20, prob = 0.2) ``` In Python mit der Bibliothek SciPy: ```python from scipy.stats import binom binom.cdf(12, 20, 0.2) ``` Beide Methoden liefern die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \). Die exakte Berechnung ergibt: \[ P(X \leq 12) \approx 0.9994 \] Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \( X \) höchstens 12 Erfolge hat, beträgt etwa 99,94%.

Die von einer Zufallsvariable \( X \) erzeugte Sigma-Algebra, oft als \( \sigma(X) \) bezeichnet, ist die kleinste Sigma-Algebra, die \( X \) messbar macht. Formal lässt sich dies wie folgt ausdrücken: \[ \sigma(X) = \{ X^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \} \] Hierbei ist \( \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) die Borel-Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen \( \mathbb{R} \). Das bedeutet, dass \( \sigma(X) \) die Menge aller Ereignisse ist, die durch die Inverse von \( X \) auf Borel-Mengen in \( \mathbb{R} \) zurückgeführt werden können.

Größen, die verschiedene Werte annehmen können, heißen **variabel** oder **stochastisch**.