Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n=20 und p=0.2. Berechnen Sie P(X<=12)?

Um die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20 \) und \( p = 0.2 \) zu berechnen, kann die kumulative Verteilungsfunktion der Binomialverteilung verwendet werden.

Die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq k) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n \) und \( p \) ist gegeben durch:

\[ P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \]

Für \( n = 20 \), \( p = 0.2 \) und \( k = 12 \) ergibt sich:

\[ P(X \leq 12) = \sum_{i=0}^{12} \binom{20}{i} (0.2)^i (0.8)^{20-i} \]

Diese Berechnung kann manuell sehr aufwendig sein, daher wird in der Praxis oft eine Tabelle der kumulativen Binomialverteilung oder ein Taschenrechner/Software verwendet, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Mit einem geeigneten Taschenrechner oder einer Software wie R oder Python kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden:

In R:
```R
pbinom(12, size = 20, prob = 0.2)
```

In Python mit der Bibliothek SciPy:
```python
from scipy.stats import binom
binom.cdf(12, 20, 0.2)
```

Beide Methoden liefern die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \).

Die exakte Berechnung ergibt:
\[ P(X \leq 12) \approx 0.9994 \]

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \( X \) höchstens 12 Erfolge hat, beträgt etwa 99,94%.