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Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n=20 und p=0.2. Berechnen Sie P(X<=12)?
Antwort vomUm die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20 \) und \( p = 0.2 \) zu berechnen, kann die kumulative Verteilungsfunktion der Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq k) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n \) und \( p \) ist gegeben durch: \[ P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \] Für \( n = 20 \), \( p = 0.2 \) und \( k = 12 \) ergibt sich: \[ P(X \leq 12) = \sum_{i=0}^{12} \binom{20}{i} (0.2)^i (0.8)^{20-i} \] Diese Berechnung kann manuell sehr aufwendig sein, daher wird in der Praxis oft eine Tabelle der kumulativen Binomialverteilung oder ein Taschenrechner/Software verwendet, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Mit einem geeigneten Taschenrechner oder einer Software wie R oder Python kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden: In R: ```R pbinom(12, size = 20, prob = 0.2) ``` In Python mit der Bibliothek SciPy: ```python from scipy.stats import binom binom.cdf(12, 20, 0.2) ``` Beide Methoden liefern die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \). Die exakte Berechnung ergibt: \[ P(X \leq 12) \approx 0.9994 \] Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \( X \) höchstens 12 Erfolge hat, beträgt etwa 99,94%.
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