3 Fragen zu Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Bernoulli-Experimenten beschreibt. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment, das nur zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg (z. B. "Ja") oder Misserfolg (z. B. "Nein"). Die wichtigsten Merkmale der Binomialverteilung sind: 1. **Anzahl der Versuche (n)**: Dies ist die feste Anzahl der durchgeführten Experimente. 2. **Wahrscheinlichkeit des Erfolgs (p)**: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Experiment einen Erfolg ergibt. 3. **Anzahl der Erfolge (k)**: Dies ist die Anzahl der Erfolge, die in den n Versuchen erzielt werden. Die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in n Versuchen zu erzielen, wird durch die Formel gegeben: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Hierbei ist \(\binom{n}{k}\) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen. Die Binomialverteilung wird häufig in der Statistik verwendet, um verschiedene Probleme zu modellieren, bei denen es um die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen geht, wie z. B. bei Umfragen, Qualitätskontrollen oder medizinischen Studien.

Um \( P(X > 2) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20) und \( p = 0,2 \) zu berechnen, kann man die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X > 2) \) ist gleich \( 1 - P(X \leq 2) \). 1. Berechne \( P(X \leq 2) \) mit der Binomialverteilung: \[ P(X \leq 2) = \sum_{k=0}^{2} \binom{20}{k} p^k (1-p)^{20-k} \] 2. Setze die Werte ein: \[ P(X \leq 2) = \binom{20}{0} (0,2)^0 (0,8)^{20} + \binom{20}{1} (0,2)^1 (0,8)^{19} + \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} \] 3. Berechne die einzelnen Terme: \[ \binom{20}{0} (0,8)^{20} = 1 \cdot 0,8^{20} \approx 0,0115 \] \[ \binom{20}{1} (0,2) (0,8)^{19} = 20 \cdot 0,2 \cdot 0,8^{19} \approx 0,0576 \] \[ \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} = 190 \cdot 0,04 \cdot 0,8^{18} \approx 0,1369 \] 4. Summiere die Wahrscheinlichkeiten: \[ P(X \leq 2) \approx 0,0115 + 0,0576 + 0,1369 = 0,2060 \] 5. Berechne \( P(X > 2) \): \[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) \approx 1 - 0,2060 = 0,7940 \] Also ist \( P(X > 2) \) ungefähr 0,7940.

Um die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20 \) und \( p = 0.2 \) zu berechnen, kann die kumulative Verteilungsfunktion der Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq k) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n \) und \( p \) ist gegeben durch: \[ P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \] Für \( n = 20 \), \( p = 0.2 \) und \( k = 12 \) ergibt sich: \[ P(X \leq 12) = \sum_{i=0}^{12} \binom{20}{i} (0.2)^i (0.8)^{20-i} \] Diese Berechnung kann manuell sehr aufwendig sein, daher wird in der Praxis oft eine Tabelle der kumulativen Binomialverteilung oder ein Taschenrechner/Software verwendet, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Mit einem geeigneten Taschenrechner oder einer Software wie R oder Python kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden: In R: ```R pbinom(12, size = 20, prob = 0.2) ``` In Python mit der Bibliothek SciPy: ```python from scipy.stats import binom binom.cdf(12, 20, 0.2) ``` Beide Methoden liefern die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \). Die exakte Berechnung ergibt: \[ P(X \leq 12) \approx 0.9994 \] Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \( X \) höchstens 12 Erfolge hat, beträgt etwa 99,94%.