Was ist P(X>2) bei n=20 und p=0,2 wenn die Zufallsvariable binomialverteilt ist?

Question

Was ist P(X>2) bei n=20 und p=0,2 wenn die Zufallsvariable binomialverteilt ist?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um \( P(X > 2) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20) und \( p = 0,2 \) zu berechnen, kann man die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X > 2) \) ist gleich \( 1 - P(X \leq 2) \). 1. Berechne \( P(X \leq 2) \) mit der Binomialverteilung: \[ P(X \leq 2) = \sum_{k=0}^{2} \binom{20}{k} p^k (1-p)^{20-k} \] 2. Setze die Werte ein: \[ P(X \leq 2) = \binom{20}{0} (0,2)^0 (0,8)^{20} + \binom{20}{1} (0,2)^1 (0,8)^{19} + \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} \] 3. Berechne die einzelnen Terme: \[ \binom{20}{0} (0,8)^{20} = 1 \cdot 0,8^{20} \approx 0,0115 \] \[ \binom{20}{1} (0,2) (0,8)^{19} = 20 \cdot 0,2 \cdot 0,8^{19} \approx 0,0576 \] \[ \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} = 190 \cdot 0,04 \cdot 0,8^{18} \approx 0,1369 \] 4. Summiere die Wahrscheinlichkeiten: \[ P(X \leq 2) \approx 0,0115 + 0,0576 + 0,1369 = 0,2060 \] 5. Berechne \( P(X > 2) \): \[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) \approx 1 - 0,2060 = 0,7940 \] Also ist \( P(X > 2) \) ungefähr 0,7940.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.