4 Fragen zu Augenzahlen

Leons Aussage ist nicht korrekt. Bei einem fairen Würfel hat jede der sechs Seiten (1, 2, 3, 4, 5, 6) die gleiche Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf zu erscheinen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6 oder etwa 16,67 % für jede einzelne Zahl. Die Tatsache, dass Leon zuvor die Augenzahlen 5, 1, 3, 2 und 4 geworfen hat, beeinflusst den nächsten Wurf nicht. Jeder Wurf eines fairen Würfels ist ein unabhängiges Ereignis, was bedeutet, dass die vorherigen Ergebnisse keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ergebnisses haben. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Wurf eine 6 fällt, genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine der anderen Zahlen (1, 2, 3, 4 oder 5) fällt, nämlich 1/6.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, kann man die folgende Überlegung anstellen: 1. **Anzahl der möglichen Ergebnisse**: Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \(6^5\) mögliche Kombinationen, wenn 5 Würfel geworfen werden. 2. **Anzahl der günstigen Ergebnisse**: Um 5 unterschiedliche Augenzahlen zu erhalten, kann der erste Würfel jede der 6 Zahlen zeigen. Der zweite Würfel kann dann nur noch 5 verschiedene Zahlen zeigen (da er sich von der ersten unterscheiden muss), der dritte Würfel 4, der vierte 3 und der fünfte 2. Das ergibt: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] 3. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, ist dann das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu den möglichen Ergebnissen: \[ P = \frac{720}{6^5} = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0,0926 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Augenzahlen unterschiedlich sind, beträgt also etwa 9,26 %.

Wenn zwei Oktaederwürfel (achtseitige Würfel) gleichzeitig geworfen werden, können die möglichen Augenzahlen von 1 bis 8 reichen. Die Zufallsgröße, die du ermitteln möchtest, ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Die möglichen Ergebnisse für die Augenzahlen der beiden Würfel seien \(X_1\) und \(X_2\). Die Zufallsgröße \(D\) wird dann definiert als: \[ D = |X_1 - X_2| \] Die möglichen Werte für \(D\) können von 0 bis 7 reichen, da die maximale Differenz zwischen den Augenzahlen 8 (bei \(X_1 = 1\) und \(X_2 = 8\) oder umgekehrt) beträgt. Hier sind die möglichen Werte für \(D\) und deren Häufigkeit: - \(D = 0\): tritt auf, wenn \(X_1 = X_2\) (8 Möglichkeiten: (1,1), (2,2), ..., (8,8)) - \(D = 1\): tritt auf, wenn die Augenzahlen um 1 differieren (14 Möglichkeiten: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), ..., (7,8), (8,7)) - \(D = 2\): 12 Möglichkeiten - \(D = 3\): 10 Möglichkeiten - \(D = 4\): 8 Möglichkeiten - \(D = 5\): 6 Möglichkeiten - \(D = 6\): 4 Möglichkeiten - \(D = 7\): 2 Möglichkeiten Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann dann ermittelt werden, indem man die Häufigkeiten durch die Gesamtzahl der möglichen Würfelergebnisse (64, da jeder Würfel 8 Seiten hat) teilt. Somit ergibt sich eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße \(D\).

Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, bleibt unabhängig von den vorherigen Würfen konstant. Bei einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6). Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, beträgt daher: \[ P(1) = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \text{ oder } 16,67\% \] Die vorherigen Würfe beeinflussen diese Wahrscheinlichkeit nicht.