6 Fragen zu Augenzahlen

Leons Aussage ist nicht korrekt. Bei einem fairen Würfel hat jede der sechs Seiten (1, 2, 3, 4, 5, 6) die gleiche Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf zu erscheinen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6 oder etwa 16,67 % für jede einzelne Zahl. Die Tatsache, dass Leon zuvor die Augenzahlen 5, 1, 3, 2 und 4 geworfen hat, beeinflusst den nächsten Wurf nicht. Jeder Wurf eines fairen Würfels ist ein unabhängiges Ereignis, was bedeutet, dass die vorherigen Ergebnisse keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ergebnisses haben. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Wurf eine 6 fällt, genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine der anderen Zahlen (1, 2, 3, 4 oder 5) fällt, nämlich 1/6.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, kann man die folgende Überlegung anstellen: 1. **Anzahl der möglichen Ergebnisse**: Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \(6^5\) mögliche Kombinationen, wenn 5 Würfel geworfen werden. 2. **Anzahl der günstigen Ergebnisse**: Um 5 unterschiedliche Augenzahlen zu erhalten, kann der erste Würfel jede der 6 Zahlen zeigen. Der zweite Würfel kann dann nur noch 5 verschiedene Zahlen zeigen (da er sich von der ersten unterscheiden muss), der dritte Würfel 4, der vierte 3 und der fünfte 2. Das ergibt: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] 3. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, ist dann das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu den möglichen Ergebnissen: \[ P = \frac{720}{6^5} = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0,0926 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Augenzahlen unterschiedlich sind, beträgt also etwa 9,26 %.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man beim Würfeln nur verschiedene Augenzahlen erhält, muss zunächst klar sein, **wie viele Würfel** geworfen werden. Da das in deiner Frage nicht angegeben ist, wird meist angenommen, dass mit **sechs Würfeln** geworfen wird (weil ein Würfel sechs Seiten hat). Ich erkläre den Fall für sechs Würfel: **Frage:** Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim gleichzeitigen Wurf von sechs Würfeln jede Augenzahl (1 bis 6) genau einmal vorkommt? --- ### Schritt 1: Gesamtzahl aller Möglichkeiten Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \( 6^6 = 46.656 \) verschiedene Möglichkeiten, sechs Würfel zu werfen. --- ### Schritt 2: Günstige Fälle (jede Augenzahl genau einmal) Wir suchen die Anzahl der Möglichkeiten, wie jede Augenzahl genau einmal vorkommt. Das entspricht der Anzahl der Permutationen der sechs Zahlen: \( 6! = 720 \) --- ### Schritt 3: Wahrscheinlichkeit berechnen Die Wahrscheinlichkeit ist also: \[ P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46.656} \approx 0,0154 \] Das entspricht etwa **1,54 %**. --- **Zusatz:** Wenn du eine andere Anzahl von Würfeln meinst, gib bitte die genaue Zahl an. Dann kann die Wahrscheinlichkeit entsprechend berechnet werden.

Wenn zwei Oktaederwürfel (achtseitige Würfel) gleichzeitig geworfen werden, können die möglichen Augenzahlen von 1 bis 8 reichen. Die Zufallsgröße, die du ermitteln möchtest, ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Die möglichen Ergebnisse für die Augenzahlen der beiden Würfel seien \(X_1\) und \(X_2\). Die Zufallsgröße \(D\) wird dann definiert als: \[ D = |X_1 - X_2| \] Die möglichen Werte für \(D\) können von 0 bis 7 reichen, da die maximale Differenz zwischen den Augenzahlen 8 (bei \(X_1 = 1\) und \(X_2 = 8\) oder umgekehrt) beträgt. Hier sind die möglichen Werte für \(D\) und deren Häufigkeit: - \(D = 0\): tritt auf, wenn \(X_1 = X_2\) (8 Möglichkeiten: (1,1), (2,2), ..., (8,8)) - \(D = 1\): tritt auf, wenn die Augenzahlen um 1 differieren (14 Möglichkeiten: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), ..., (7,8), (8,7)) - \(D = 2\): 12 Möglichkeiten - \(D = 3\): 10 Möglichkeiten - \(D = 4\): 8 Möglichkeiten - \(D = 5\): 6 Möglichkeiten - \(D = 6\): 4 Möglichkeiten - \(D = 7\): 2 Möglichkeiten Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann dann ermittelt werden, indem man die Häufigkeiten durch die Gesamtzahl der möglichen Würfelergebnisse (64, da jeder Würfel 8 Seiten hat) teilt. Somit ergibt sich eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße \(D\).

Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, bleibt unabhängig von den vorherigen Würfen konstant. Bei einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6). Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, beträgt daher: \[ P(1) = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \text{ oder } 16,67\% \] Die vorherigen Würfe beeinflussen diese Wahrscheinlichkeit nicht.

Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).