Wie ermittelt man die Zufallsgröße bei zwei geworfenen Oktaederwürfeln aus der Differenz der Augenzahlen?

Question

Wie ermittelt man die Zufallsgröße bei zwei geworfenen Oktaederwürfeln aus der Differenz der Augenzahlen?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau 3 gleiche Zahlen beim Wurf von 5 Würfeln im Würfelbecher?

Ist ein Kubus ein Quader oder ein Würfel?

Warum ist bei zwei Würfeln die 7 die häufigste Augensumme und nicht die 8?

Welche Augenzahl wird beim Würfeln mit 3 Würfeln am häufigsten erzielt?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei drei Würfen mit einem Würfel nur verschiedene Augenzahlen zu erhalten?

Accepted Answer

Wenn zwei Oktaederwürfel (achtseitige Würfel) gleichzeitig geworfen werden, können die möglichen Augenzahlen von 1 bis 8 reichen. Die Zufallsgröße, die du ermitteln möchtest, ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Die möglichen Ergebnisse für die Augenzahlen der beiden Würfel seien \(X_1\) und \(X_2\). Die Zufallsgröße \(D\) wird dann definiert als: \[ D = |X_1 - X_2| \] Die möglichen Werte für \(D\) können von 0 bis 7 reichen, da die maximale Differenz zwischen den Augenzahlen 8 (bei \(X_1 = 1\) und \(X_2 = 8\) oder umgekehrt) beträgt. Hier sind die möglichen Werte für \(D\) und deren Häufigkeit: - \(D = 0\): tritt auf, wenn \(X_1 = X_2\) (8 Möglichkeiten: (1,1), (2,2), ..., (8,8)) - \(D = 1\): tritt auf, wenn die Augenzahlen um 1 differieren (14 Möglichkeiten: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), ..., (7,8), (8,7)) - \(D = 2\): 12 Möglichkeiten - \(D = 3\): 10 Möglichkeiten - \(D = 4\): 8 Möglichkeiten - \(D = 5\): 6 Möglichkeiten - \(D = 6\): 4 Möglichkeiten - \(D = 7\): 2 Möglichkeiten Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann dann ermittelt werden, indem man die Häufigkeiten durch die Gesamtzahl der möglichen Würfelergebnisse (64, da jeder Würfel 8 Seiten hat) teilt. Somit ergibt sich eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße \(D\).

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, versch... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden), geht man wie folgt vor: **1. Schritt: Auswahl der Zahl, die dreimal vorkommt** Es gibt 6 mögliche Zahlen (1 bis 6). **2. Schritt: Auswahl der Würfel, die diese Zahl zeigen** Es gibt \(\binom{5}{3} = 10\) Möglichkeiten, 3 Würfel aus 5 auszuwählen. **3. Schritt: Die beiden übrigen Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden** - Es bleiben 5 Zahlen übrig (da eine Zahl schon dreimal vorkommt). - Die beiden Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Möglichkeiten, zwei verschiedene Zahlen aus 5 auszuwählen. - Die beiden Würfel sind unterscheidbar (z.B. Würfel 4 und 5), daher gibt es für jede Auswahl 2! = 2 Anordnungen. **Gesamtzahl der günstigen Fälle:** \(6 \times 10 \times 10 \times 2 = 1200\) **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Jeder Würfel hat 6 Möglichkeiten, also \(6^5 = 7776\). **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{1200}{7776} = \frac{25}{162} \approx 0{,}1543 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Zahl zeigen** (und die anderen beiden verschiedene, andere Zahlen), beträgt \(\frac{25}{162}\) bzw. etwa **15,43 %**.

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Ein Kubus ist ein Würfel. In der Mathematik bezeichnet man einen Würfel als Kubus, wenn alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel rechte Winkel sind. Ein Quader hingegen ist ein allgemein... [mehr]

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Ein Kubus ist ein Würfel. In der Mathematik bezeichnet man einen Würfel als Kubus, wenn alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel rechte Winkel sind. Ein Quader hingegen ist ein allgemeiner rechteckiger Körper, bei dem die Seitenflächen Rechtecke sind, aber die Kantenlängen unterschiedlich sein können. Jeder Kubus ist also ein spezieller Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Kubus.

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Die 7 ist tatsächlich die am häufigsten gewürfelte Augensumme zwei Würf. Das liegt daran, dass es mehr Kombinationen gibt, mit denen man eine 7 würfeln kann, als für jede... [mehr]

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Die 7 ist tatsächlich die am häufigsten gewürfelte Augensumme zwei Würf. Das liegt daran, dass es mehr Kombinationen gibt, mit denen man eine 7 würfeln kann, als für jede andere Summe. Hier die möglichen Kombinationen für die 7: - 1 + 6 - 2 + 5 - 3 + 4 - 4 + 3 - 5 + 2 - 6 + 1 Das sind **6 verschiedene Kombinationen**. Für die 8 sieht es so aus: - 2 + 6 - 3 + 5 - 4 + 4 - 5 + 3 - 6 + 2 Das sind **5 verschiedene Kombinationen**. Dein Fehler liegt bei der Annahme, dass „4 + 4“ doppelt zählt. Das ist nicht der Fall: Die Kombination „4 + 4“ gibt es nur einmal, weil es egal ist, welcher Würfel die 4 zeigt – beide zeigen ja die gleiche Zahl. Bei „3 + 5“ und „5 + 3“ hingegen sind es zwei verschiedene Kombinationen, weil die Würfel unterschiedliche Zahlen zeigen. Deshalb ist die 7 mit 6 Möglichkeiten die häufigste Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln.

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Wenn du mit drei normalen sechsseitigen Würfeln würfelst, ist die statistisch am häufigsten gewürfelte Augenzahl die **10** oder die **11**. Beide Summen können auf die meiste... [mehr]

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Wenn du mit drei normalen sechsseitigen Würfeln würfelst, ist die statistisch am häufigsten gewürfelte Augenzahl die **10** oder die **11**. Beide Summen können auf die meisten Arten geworfen werden (jeweils 27 Möglichkeiten von insgesamt 216 möglichen Kombinationen). Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, eine 10 oder eine 11 zu würfeln, ist am höchsten, wenn du drei Würfel gleichzeitig wirfst.

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **L&o... [mehr]

Accepted Answer

Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).