3 Fragen zu Oktaeder

Das Volumen \( V \) eines Oktaeders kann mit der Formel \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 \] berechnet werden, wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Wenn die Kantenlänge \( a = 7,5 \) cm beträgt, dann ist das Volumen: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (7,5)^3 \] Zuerst berechnen wir \( (7,5)^3 \): \[ (7,5)^3 = 7,5 \cdot 7,5 \cdot 7,5 = 421,875 \] Nun setzen wir das in die Volumenformel ein: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 421,875 \] \[ V \approx \frac{1,414}{3} \cdot 421,875 \] \[ V \approx 0,471 \cdot 421,875 \] \[ V \approx 198,75 \] Das Volumen des Oktaeders beträgt also ungefähr 198,75 cm³.

Ein Oktaeder besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Die Oberfläche eines Oktaeders kann berechnet werden, indem die Fläche eines dieser Dreiecke mit acht multipliziert wird. Die Fläche \( A \) eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge \( a \) kann mit der Formel berechnet werden: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Für ein Oktaeder mit einer Kantenlänge von 7,5 cm ist die Fläche eines Dreiecks: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} (7,5)^2 \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 56,25 \] \[ A = 14,0625 \sqrt{3} \] Die gesamte Oberfläche \( O \) des Oktaeders ist dann: \[ O = 8 \times 14,0625 \sqrt{3} \] \[ O = 112,5 \sqrt{3} \] Der numerische Wert von \( \sqrt{3} \) ist ungefähr 1,732. Daher: \[ O \approx 112,5 \times 1,732 \] \[ O \approx 194,85 \] Die Oberfläche des Oktaeders beträgt also ungefähr 194,85 cm².

Wenn zwei Oktaederwürfel (achtseitige Würfel) gleichzeitig geworfen werden, können die möglichen Augenzahlen von 1 bis 8 reichen. Die Zufallsgröße, die du ermitteln möchtest, ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Die möglichen Ergebnisse für die Augenzahlen der beiden Würfel seien \(X_1\) und \(X_2\). Die Zufallsgröße \(D\) wird dann definiert als: \[ D = |X_1 - X_2| \] Die möglichen Werte für \(D\) können von 0 bis 7 reichen, da die maximale Differenz zwischen den Augenzahlen 8 (bei \(X_1 = 1\) und \(X_2 = 8\) oder umgekehrt) beträgt. Hier sind die möglichen Werte für \(D\) und deren Häufigkeit: - \(D = 0\): tritt auf, wenn \(X_1 = X_2\) (8 Möglichkeiten: (1,1), (2,2), ..., (8,8)) - \(D = 1\): tritt auf, wenn die Augenzahlen um 1 differieren (14 Möglichkeiten: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), ..., (7,8), (8,7)) - \(D = 2\): 12 Möglichkeiten - \(D = 3\): 10 Möglichkeiten - \(D = 4\): 8 Möglichkeiten - \(D = 5\): 6 Möglichkeiten - \(D = 6\): 4 Möglichkeiten - \(D = 7\): 2 Möglichkeiten Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann dann ermittelt werden, indem man die Häufigkeiten durch die Gesamtzahl der möglichen Würfelergebnisse (64, da jeder Würfel 8 Seiten hat) teilt. Somit ergibt sich eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße \(D\).