1046 Fragen zu Statistik

Das PPS-Verfahren (Probability Proportional to Size) ist ein Stichprobenverfahren, bei dem die Auswahlwahrscheinlichkeit einer Einheit proportional zu einer bekannten Größe (z. B. Umsatz, Einwohnerzahl) ist. Bei einer **mehrstufigen Auswahl** werden zunächst größere Einheiten (z. B. Gemeinden) und dann darin kleinere Einheiten (z. B. Haushalte) gezogen. **Warum verhält sich das am Ende wie eine einfache Zufallsstichprobe?** Wenn das PPS-Verfahren korrekt angewendet wird, ist die **Gesamtauswahlwahrscheinlichkeit** für jede Endeinheit (z. B. ein Haushalt) am Ende **gleich groß** – unabhängig davon, in welcher größeren Einheit sie liegt. Das liegt daran, dass: - In der ersten Stufe werden die größeren Einheiten proportional zu ihrer Größe gezogen. - In der zweiten Stufe werden aus jeder gezogenen größeren Einheit eine feste Anzahl kleinerer Einheiten zufällig ausgewählt. Dadurch wird die Verzerrung, die durch unterschiedlich große Auswahlbereiche entstehen könnte, ausgeglichen. **Jede Endeinheit hat die gleiche Chance, in die Stichprobe zu gelangen** – wie bei einer einfachen Zufallsstichprobe. **Fazit:** Das mehrstufige PPS-Verfahren sorgt dafür, dass am Ende jede Untersuchungseinheit die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit hat. Deshalb verhält sich die Auswahl wie eine einfache Zufallsstichprobe, obwohl sie in mehreren Stufen erfolgt ist. Weitere Infos zum PPS-Verfahren findest du z. B. bei [Statistik Wiki](https://de.wikipedia.org/wiki/Probability_Proportional_to_Size_Sampling).

Erfurt-Linderbach ist ein Ort der Stadt Erfurt in Thüringen. Laut dem **Statistischen Jahrbuch der Landeshauptstadt Erfurt 2023** gab es im Jahr 2022 in Linderbach etwa **570 Haushalte**. Quelle: [Statistisches Jahrbuch Erfurt 2023, Tabelle 2.2.2 – Haushalte nach Ortsteilen](https://www.erfurt.de/ef/de/rathaus/stadtverwaltung/statistik/publikationen/ja/147241.html)

Ein Q-Q-Diagramm (Quantil-Quantil-Diagramm) ist ein grafisches Werkzeug in der Statistik, mit dem du die Verteilung deiner Daten mit einer theoretischen Verteilung (z. B. Normalverteilung) oder mit einer anderen empirischen Verteilung vergleichst. Im Q-Q-Diagramm werden die Quantile der beiden Verteilungen gegeneinander aufgetragen. Liegen die Punkte ungefähr auf einer Geraden, deutet das darauf hin, dass die Verteilungen ähnlich sind. Weichen die Punkte systematisch ab, gibt es Unterschiede zwischen den Verteilungen. Q-Q-Diagramme werden häufig verwendet, um zu prüfen, ob Daten normalverteilt sind oder um Ausreißer und Abweichungen von einer angenommenen Verteilung zu erkennen.

Die jährliche Sterberate in Deutschland liegt aktuell bei etwa 12 bis 13 Todesfällen pro 1.000 Einwohner (Stand: 2023, Statistisches Bundesamt). Für eine Stadt mit 15.000 Einwohnern ergibt sich daraus folgende Rechnung: 15.000 Einwohner × 0,012 (Sterberate) = 180 Todesfälle pro Jahr Das bedeutet, in einer deutschen Stadt mit 15.000 Einwohnern sterben durchschnittlich etwa 180 Menschen pro Jahr. Die tatsächliche Zahl kann je nach Altersstruktur und regionalen Besonderheiten etwas schwanken. Quellen: [Statistisches Bundesamt](https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Sterbefaelle-Lebenserwartung/Tabellen/sterbefaelle.html).

Ein spezifisches, immer aktuelles Diagramm zur Vergewaltigungsrate in Großbritannien über mehrere Jahre findest du nicht direkt in einer einzigen, immer gleichen Quelle. Allerdings veröffentlichen offizielle Stellen wie das Office for National Statistics (ONS) regelmäßig Berichte und Grafiken zu diesem Thema. Das ONS bietet auf seiner Website Statistiken zu Sexualdelikten, darunter auch Vergewaltigungen, mit Zeitreihen über mehrere Jahre. Dort findest du Diagramme und Tabellen, die die Entwicklung der gemeldeten Vergewaltigungsfälle in England und Wales zeigen. Hier findest du die aktuellen Daten und Diagramme: [Sexual offences in England and Wales - Office for National Statistics](https://www.ons.gov.uk/peoplepopulationandcommunity/crimeandjustice/datasets/sexualoffencesappendixtables) Dort kannst du die Berichte und Tabellen herunterladen, in denen die Vergewaltigungsraten pro Jahr dargestellt sind. Die Daten werden meist als absolute Zahlen und manchmal auch als Rate pro 100.000 Einwohner angegeben. Für eine grafische Darstellung kannst du die Zahlen aus den Tabellen auch in ein eigenes Diagramm (z.B. mit Excel) übertragen, falls kein passendes Diagramm direkt verfügbar ist.

Die Formel für statistische Unabhängigkeit zweier Ereignisse \(A\) und \(B\) lautet: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Das bedeutet: Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind genau dann statistisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

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Das erste Quartil (Q1) ist der Wert, unter dem 25 % der Daten liegen. Der Interquartilsabstand (IQR) ist die Spannweite zwischen dem dritten Quartil (Q3, 75 %-Perzentil) und dem ersten Quartil (Q1, 25 %-Perzentil). Er wird so berechnet: **Interquartilsabstand (IQR) = Q3 – Q1** Der IQR misst die Streuung der mittleren 50 % der Daten und ist ein Maß für die statistische Dispersion.

**Absolute Häufigkeit:** Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Merkmal oder ein Wert in einer Datenmenge vorkommt. Beispiel: In einer Klasse haben 5 Schüler blaue Augen. Die absolute Häufigkeit für „blaue Augen“ ist 5. **Häufigkeitstabelle:** Eine Häufigkeitstabelle ist eine tabellarische Übersicht, in der die verschiedenen Merkmalsausprägungen (z. B. Augfarben) und deren absolute Häufigkeiten aufgelistet sind. Sie kann auch die relativen Häufigkeiten enthalten. Beispiel: | Augenfarbe | Absolute Häufigkeit | |------------|---------------------| | Blau | 5 | | Braun | 10 | | Grün | 3 | **Relative Häufigkeit:** Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil eines bestimmten Merkmals an der Gesamtzahl der Beobachtungen ist. Sie wird berechnet, indem man die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Beobachtungen teilt. Beispiel: In einer Klasse mit 18 Schülern haben 5 blaue Augen. Die relative Häufigkeit für „blaue Augen“ ist 5/18 ≈ 0,28 (also 28 %). Zusammengefasst: - Absolute Häufigkeit: Anzahl des Auftretens eines Wertes. - Häufigkeitstabelle: Übersicht über Werte und deren Häufigkeiten. - Relative Häufigkeit: Anteil eines Wertes an der Gesamtzahl.

Prozentzahlen sind in der Regel **Verhältnisdaten** (Ratioskala). Begründung: - Prozentzahlen haben einen natürlichen Nullpunkt (0 % bedeutet „nichts“). - Sie erlauben sinnvolle Aussagen über Verhältnisse (z. B. 40 % ist doppelt so viel wie 20 %). - Die Abstände zwischen den Werten sind gleich groß (z. B. der Unterschied zwischen 10 % und 20 % ist genauso groß wie zwischen 70 % und 80 %). **Zusammenfassung der Skalentypen:** - **Nominaldaten:** Nur Kategorien, keine Reihenfolge (z. B. Farben, Geschlecht). - **Ordinaldaten:** Kategorien mit Reihenfolge, aber keine gleichen Abstände (z. B. Schulnoten). - **Intervalldaten:** Gleiche Abstände, aber kein absoluter Nullpunkt (z. B. Temperatur in °C). - **Verhältnisdaten:** Gleiche Abstände und absoluter Nullpunkt (z. B. Prozentzahlen, Alter, Gewicht). **Fazit:** Prozentzahlen sind Verhältnisdaten (Ratioskala).

Genaue und aktuelle Zahlen darüber, wie viele österreichische Staatsbürgerinnen den Vornamen Alena tragen, werden von offiziellen Stellen wie **Statistik Austria** oder dem **Zentralen Melderegister** aus Datenschutzgründen in der Regel nicht öffentlich gemacht. Es gibt jedoch gelegentlich Statistiken zu den beliebtesten Vornamen in Österreich. Der Name **Alena** ist in Österreich zwar bekannt, gehört aber nicht zu den häufigsten Vornamen. Laut den veröffentlichten Vornamensstatistiken der letzten Jahre taucht Alena meist nicht in den Top 50 der beliebtesten Mädchennamen auf. Eine grobe Schätzung: In den letzten Jahren wurden jährlich etwa 30–60 neugeborene Mädchen in Österreich Alena genannt. Über alle Jahrgänge hinweg dürfte die Zahl der österreichischen Staatsbürgerinnen mit dem Vornamen Alena vermutlich im niedrigen vierstelligen Bereich liegen (also einige Tausend). Für eine exakte Zahl müsstest du dich direkt an **Statistik Austria** wenden: [https://www.statistik.at/](https://www.statistik.at/) Dort können auf Anfrage manchmal detailliertere Auskünfte erteilt werden.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in zwei unabhängigen Dokumenten zufällig jeweils das Datum „05.02.2007“ steht, müssen einige Annahmen getroffen werden, da die Wahrscheinlichkeit stark von den Rahmenbedingungen abhängt: **1. Wie viele verschiedene Datumsangaben sind in den Dokumenten möglich?** Angenommen, jedes Dokument könnte ein beliebiges Datum aus einem bestimmten Zeitraum enthalten, z. B. aus einem Jahr (365 mögliche Daten). **2. Steht in jedem Dokument genau ein Datum?** Oder könnten mehrere Daten vorkommen? Für die Berechnung wird angenommen, dass in jedem Dokument genau ein Datum steht. **3. Sind die Dokumente unabhängig voneinander erstellt worden?** Die Wahrscheinlichkeit wird unter der Annahme berechnet, dass die Auswahl der Daten in den Dokumenten unabhängig voneinander erfolgt. ### Beispielrechnung **Angenommen:** - Jedes Dokument enthält genau ein Datum. - Das Datum wird zufällig aus allen Tagen eines Jahres (365 Tage) gewählt. - Die Auswahl ist unabhängig. **Wahrscheinlichkeit, dass ein Dokument das Datum „05.02.2007“ enthält:** \( P_1 = \frac{1}{365} \) **Wahrscheinlichkeit, dass beide Dokumente dieses Datum enthalten:** \( P = P_1 \times P_1 = \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} = \frac{1}{133{,}225} \approx 0{,}00075\% \) ### Fazit Die Wahrscheinlichkeit, dass in zwei unabhängig voneinander erstellten Dokumenten zufällig jeweils das Datum „05.02.2007“ steht, beträgt unter den genannten Annahmen etwa 0,00075 %. **Wichtiger Hinweis:** Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kann stark abweichen, wenn z. B. die Auswahl der Daten nicht zufällig ist, die Dokumente aus einem anderen Zeitraum stammen oder mehrere Daten pro Dokument möglich sind. Für eine genauere Berechnung müssten diese Rahmenbedingungen bekannt sein.

Von einem Trend spricht man, wenn sich eine bestimmte Entwicklung, Veränderung oder ein Muster über einen gewissen Zeitraum hinweg in eine Richtung fortsetzt. In der Statistik und im Qualitätsmanagement, zum Beispiel bei der Fehleranalyse, gibt es dafür konkrete Definitionen. Im Qualitätsmanagement, etwa nach den Regeln der statistischen Prozesskontrolle (SPC), gilt häufig folgende Faustregel: Ein Trend liegt vor, wenn sieben (manchmal auch acht) aufeinanderfolgende Messwerte kontinuierlich steigen oder fallen – unabhängig davon, ob sie innerhalb oder außerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Diese Regel wird oft als „7-Punkte-Regel“ bezeichnet. Beispiel: Wenn du sieben aufeinanderfolgende Fehler hast, die entweder immer mehr oder immer weniger werden, spricht man von einem Trend. Zusammengefasst: - Ein Trend ist eine fortlaufende Entwicklung in eine Richtung. - In der Fehleranalyse spricht man meist ab sieben aufeinanderfolgenden Fehlern in eine Richtung von einem Trend. Die genaue Anzahl kann je nach Branche oder Regelwerk leicht variieren, aber sieben ist ein gängiger Standard.

Gerne! Hier die Erklärungen zu den genannten Begriffen im Zusammenhang mit statistischen Kenngrößen: **1. Rangliste:** Eine Rangliste ordnet die Werte einer Datenreihe der Größe nach (aufsteigend oder absteigend). Jeder Wert erhält dabei einen Rangplatz. Das ist besonders nützlich, um die Position einzelner Werte im Vergleich zu anderen zu sehen. **2. Arithmetisches Mittel (x̄):** Das arithmetische Mittel, oft mit \( \bar{x} \) (x quer) bezeichnet, ist der Durchschnittswert einer Zahlenreihe. Es wird berechnet, indem man alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte teilt. Formel: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \] wobei \( x_i \) die einzelnen Werte und \( n \) die Anzahl der Werte sind. **3. Modalwert (m):** Der Modalwert (auch Modus genannt) ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt. Es kann auch mehrere Modalwerte geben, wenn mehrere Werte gleich häufig auftreten. **4. Zentralwert (z) / Median:** Der Zentralwert, auch Median genannt, ist der Wert, der in der Mitte einer geordneten Datenreihe steht. Die Hälfte der Werte ist kleiner, die andere Hälfte größer. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist es der mittlere Wert, bei einer geraden Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte. **Zusammengefasst:** - **Rangliste:** Sortierte Werte mit Rangplätzen - **Arithmetisches Mittel (x̄):** Durchschnitt - **Modalwert (m):** Häufigster Wert - **Zentralwert (z):** Mittlerer Wert (Median) Alle diese Begriffe helfen, die Verteilung und typische Werte einer Datenmenge zu beschreiben.

Die Grundgesamtheit (auch Population genannt) ist in der beschreibenden Statistik die Gesamtheit aller Elemente, über die in einer statistischen Untersuchung eine Aussage getroffen werden soll. Sie umfasst also alle Objekte, Personen oder Ereignisse, die ein bestimmtes Merkmal oder mehrere Merkmale aufweisen und für die die Untersuchung relevant ist. Beispiel: Wenn du das Durchschnittsalter aller Studierenden einer Universität bestimmen möchtest, ist die Grundgesamtheit die Menge aller Studierenden dieser Universität. In der beschreibenden Statistik werden häufig Stichproben aus der Grundgesamtheit gezogen, um anhand dieser Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen.