17 Fragen zu Stammfunktion

Ja, wenn eine Stammfunktion das Krümmungsverhalten ändert, dann tun dies auch alle anderen Stammfunktionen derselben Funktion. Der Grund dafür ist, dass sich alle Stammfunktionen einer Funktion \( f(x) \) nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Diese Konstante beeinflusst die Lage des Graphen, aber nicht dessen Krümmungsverhalten. Das Krümmungsverhalten eines Graphen wird durch die zweite Ableitung bestimmt. Wenn \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist, dann ist \( F''(x) = f(x) \). Da die zweite Ableitung \( F''(x) \) für alle Stammfunktionen gleich ist, haben alle Stammfunktionen dasselbe Krümmungsverhalten.

Die Stammfunktion, auch als unbestimmtes Integral bezeichnet, zeigt die Funktion an, deren Ableitung gegebene Funktion ist. Mit anderen Worten, wenn du eine Funktion \( f(x) \) hast, dann ist die Stammfunktion \( F(x) \) eine Funktion, die die Eigenschaft \( F'(x) = f(x) \) erfüllt. Die Stammfunktion wird oft verwendet, um Flächen unter Kurven zu berechnen und in vielen Bereichen der Mathematik und Physik angewendet.

Die Stammfunktion von \( x^{-2} \) ist \( -x^{-1} + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Mathematisch ausgedrückt: \[ \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \]

Die Stammfunktion von \( x^{-1} \) ist \( \ln|x| + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist.

Die Stammfunktion von \( x^{-3} \) ist: \[ \int x^{-3} \, dx = \int x^{-3} \, dx = \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C \] wobei \( C \) die Konstante der Integration ist.

Die Normalparabel hat die Gleichung \( f(x) = x^2 \). Die Stammfunktion \( F(x) \) dieser Funktion erhält man durch Integration: \[ F(x) = \int x^2 \, dx \] Die Stammfunktion von \( x^2 \) ist: \[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C \] wobei \( C \) eine Konstante ist, die die unbestimmte Integration berücksichtigt.

Ja, alle Graphen einer Stammfunktion ändern ihr Krümmungsverhalten an denselben Stellen. Der Grund dafür ist, dass die Krümmung eines Graphen durch die zweite Ableitung der Funktion bestimmt wird. Wenn eine Funktion \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist, dann ist \( F''(x) = f'(x) \). Da die zweite Ableitung \( F''(x) \) für alle Stammfunktionen von \( f(x) \) gleich ist, ändern alle Graphen der Stammfunktionen ihr Krümmungsverhalten an denselben Stellen.

Die Stammfunktion von \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) ist \( \sqrt{x} + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Ableitung von \( \sqrt{x} \) gleich \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) ist.

Die Stammfunktion von \(\ln(3)\) ist \(\ln(3) \cdot x + C\), wobei \(C\) die Integrationskonstante ist. Da \(\ln(3)\) eine Konstante ist, wird sie beim Integrieren einfach mit \(x\) multipliziert.

Um eine Stammfunktion \( F(x) \) von \( f(x) = -2x \cdot \sin(x^2) \) zu bestimmen, kannst du die Methode der Substitution verwenden. Setze \( u = x^2 \). Dann ist \( du = 2x \, dx \) oder \( dx = \frac{du}{2x} \). Da \( x = \sqrt{u} \), wird \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). Die Funktion \( f(x) \) wird dann umgeschrieben: \[ f(x) = -2x \cdot \sin(x^2) = -2x \cdot \sin(u) \] Jetzt ersetzen wir \( dx \): \[ f(x) \, dx = -2x \cdot \sin(u) \cdot \frac{du}{2x} = -\sin(u) \, du \] Die Stammfunktion von \( -\sin(u) \) ist \( \cos(u) + C \). Jetzt setzen wir \( u = x^2 \) zurück: \[ F(x) = \cos(x^2) + C \] Somit ist eine Stammfunktion \( F(x) = \cos(x^2) + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist.

Um zu überprüfen, ob \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist, musst du die Ableitung von \( F \) bilden und prüfen, ob diese gleich \( f \) ist. Das bedeutet, du führst die folgenden Schritte aus: 1. **Ableitung bilden**: Berechne die Ableitung \( F'(x) \). 2. **Vergleich**: Setze \( F'(x) \) gleich \( f(x) \) und prüfe, ob die Gleichung für alle \( x \) im Definitionsbereich gilt. Wenn \( F'(x) = f(x) \) für alle \( x \) im betrachteten Intervall gilt, dann ist \( F \) eine Stammfunktion von \( f \).

Nein, die Funktion \( F'(x) = x \) ist nicht die Stammfunktion von \( f(x) = x \). Die Stammfunktion von \( f(x) = x \) ist \( F(x) = \frac{1}{2}x^2 + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist. Wenn du die Ableitung von \( F(x) \) nimmst, erhältst du \( F'(x) = x \).

Ja, \( F'(x) = 2 \) ist eine Stammfunktion von \( f(x) = -2 \). Um das zu überprüfen, kannst du die Ableitung von \( F(x) \) betrachten. Wenn \( F'(x) = 2 \), dann ist \( F(x) = 2x + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist. Die Ableitung von \( F(x) \) ergibt: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x + C) = 2 \] Um die Funktion \( f(x) = -2 \) zu erhalten, müsste die Ableitung von \( F(x) \) jedoch -2 sein. Daher ist \( F'(x) = 2 \) keine Stammfunktion von \( f(x) = -2 \). Die korrekte Stammfunktion von \( f(x) = -2 \) wäre \( F(x) = -2x + C \).

Um die Stammfunktion der Funktion \( f(x) = (-0,001x^3 + 0,034x^2 - 0,249x + 3,4)^2 \) zu bestimmen, musst du die Funktion zuerst ausmultiplizieren und dann die Integrationsregeln anwenden. 1. **Ausmultiplizieren**: \[ f(x) = (-0,001x^3 + 0,034x^2 - 0,249x + 3,4)^2 \] Dies ergibt eine Polynomfunktion, die du dann in der Form \( ax^n \) schreiben kannst. 2. **Stammfunktion bestimmen**: Die Stammfunktion eines Terms \( ax^n \) ist \( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist. Da die Ausmultiplizierung und die anschließende Integration recht aufwendig sein können, empfehle ich, dies mit einem Computer-Algebra-System oder einer Software wie Wolfram Alpha oder einem ähnlichen Tool durchzuführen, um die genaue Form der Stammfunktion zu erhalten. Wenn du die Funktion ausmultiplizierst und die einzelnen Terme integrierst, erhältst du die Stammfunktion.

Um zu zeigen, dass \( F(x) = -e^x \) eine Stammfunktion von \( f(x) = 2x e^{-x^2} \) ist, müssen wir die Ableitung von \( F(x) \) berechnen und zeigen, dass sie gleich \( f(x) \) ist. 1. **Berechnung der Ableitung von \( F(x) \)**: \[ F(x) = -e^{-x^2} \] Um die Ableitung zu finden, verwenden wir die Kettenregel: \[ F'(x) = -\frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = -e^{-x^2} \cdot (-2x) = 2x e^{-x^2} \] Das bedeutet: \[ F'(x) = f(x) \] Somit ist \( F(x) = -e^{-x^2} \) eine Stammfunktion von \( f(x) = 2x e^{-x^2} \). 2. **Bestimmung des Inhalts der Fläche, die der Graph von \( f \) mit der x-Achse einschließt**: Um den Inhalt der Fläche zu bestimmen, müssen wir das Integral von \( f(x) \) über den Bereich, in dem \( f(x) \) positiv ist, berechnen. Da \( f(x) = 2x e^{-x^2} \) für \( x \geq 0 \) positiv ist und für \( x < 0 \) negativ, betrachten wir das Integral von \( 0 \) bis \( \infty \): \[ \text{Inhalt} = \int_0^\infty f(x) \, dx = \int_0^\infty 2x e^{-x^2} \, dx \] Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die Substitution \( u = -x^2 \), was \( du = -2x \, dx \) ergibt. Die Grenzen ändern sich von \( x = 0 \) (also \( u = 0 \)) bis \( x = \infty \) (also \( u = -\infty \)): \[ \int_0^\infty 2x e^{-x^2} \, dx = \int_0^{-\infty} e^u (-du) = \int_{-\infty}^0 e^u \, du \] Das Integral von \( e^u \) ist: \[ \left[ e^u \right]_{-\infty}^0 = e^0 - \lim_{u \to -\infty} e^u = 1 - 0 = 1 \] Daher ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von \( f \) mit der x-Achse einschließt: \[ \text{Inhalt} = 1 \]