263 Fragen zu Wurzel

Um den Ausdruck \( 2 \cdot \sqrt{6} - 3 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{6} - (2 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Zusammenfassen der Wurzelausdrücke:** \[ 2 \cdot \sqrt{6} - 3 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{6} = (2 - 3 - 1) \cdot \sqrt{6} = -2 \cdot \sqrt{6} \] 2. **Berechnung des quadratischen Terms:** \[ (2 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (2 \cdot \sqrt{2})^2 - 2 \cdot (2 \cdot \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \] \[ = 4 \cdot 2 - 4 \cdot \sqrt{6} + 3 = 8 - 4 \cdot \sqrt{6} + 3 = 11 - 4 \cdot \sqrt{6} \] 3. **Einsetzen in den ursprünglichen Ausdruck:** \[ -2 \cdot \sqrt{6} - (11 - 4 \cdot \sqrt{6}) = -2 \cdot \sqrt{6} - 11 + 4 \cdot \sqrt{6} \] \[ = (4 - 2) \cdot \sqrt{6} - 11 = 2 \cdot \sqrt{6} - 11 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ 2 \cdot \sqrt{6} - 11 \]

Um den Term \(\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt{a} \times \sqrt[6]{a^5}\) zu vereinfachen, können die Exponenten der Potenzen von \(a\) in eine gemeinsame Basis umgewandelt werden. Hier sind die Schritte: 1. Schreibe die Wurzeln als Potenzen: - \(\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}\) - \(\sqrt{a} = a^{1/2}\) - \(\sqrt[6]{a5} = a^{5/6}\) 2. Multiplizi die Potenzen: \[ a^{2/3} \times a^{1/2} \times a^{5/6} \] 3. Addiere die Exponenten: \[ \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{5}{6} \] Um die Brüche zu addieren, finde einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner von 3, 2 und 6 ist 6: \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \] Addiere die Brüche: \[ \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] 4. Schreibe das Ergebnis als Potenz: \[ a^2 \] Der vereinfachte Term ist also: \[ a^2 \]

Die Gleichung \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\) lässt sich durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck erklären. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Beginne mit dem Ausdruck \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\). 2. Multipliziere und dividiere diesen Ausdruck mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\): \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] 3. Im Zähler steht nun ein Produkt der Form \((a - b)(a + b)\), was der Differenz der Quadrate entspricht: \[ (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 \] 4. Berechne die Quadrate: \[ (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n+1) - n = 1 \] . Setze dies in den Zähler ein: \[ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] Daher gilt: \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] Diese Identität zeigt, wie durch die Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck der ursprüngliche Ausdruck vereinfacht werden kann.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor: 1. Der Ausdruck lautet: \( 9 \cdot \sqrt{7} - 6 + 3 \cdot \sqrt{7} + 3 - \sqrt{7} \). 2. Zuerst fassen wir die Terme mit \(\sqrt{7}\) zusammen: \[ 9 \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} = (9 + 3 - 1) \cdot \sqrt{7} = 11 \cdot \sqrt{7} \] 3. Jetzt fassen wir die konstanten Terme zusammen: \[ -6 + 3 = -3 \] 4. Der gesamte Ausdruck vereinfacht sich also zu: \[ 11 \cdot \sqrt{7} - 3 \] Das Endergebnis ist \( 11 \cdot \sqrt{7} - 3 \).

Um den Ausdruck \( \frac{4\sqrt{a^6 b^2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b^{-3}}} \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. Zuerst vereinfachen wir den Zähler: \[ 4\sqrt{a^6 b^2} = 4 \cdot \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^2} = 4 \cdot a^{6/2} \cdot b^{2/2} = 4 \cdot a^3 \cdot b = 4a^3b \] 2. Nun den Nenner: \[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b^{-3}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{b^3}} = \frac{\sqrt{a}}{b^{3/2}} \] 3. Setzen wir den Zähler und den Nenner zusammen: \[ \frac{4a^3b}{\frac{\sqrt{a}}{b^{3/2}}} = 4a^3b \cdot \frac{b^{3/2}}{\sqrt{a}} = 4a^3b^{1 + 3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} = 4a^3b^{5/2} \cdot a^{-1/2} \] 4. Jetzt fassen wir die Potenzen von \( a \) zusammen: \[ 4a^{3 - 1/2}b^{5/2} = 4a^{2.5}b^{5/2} = 4a^{5/2}b^{5/2} \] 5. Das Endergebnis ist: \[ 4a^{5/2}b^{5/2} \] Zusammengefasst ergibt der vereinfachte Ausdruck: \[ 4a^{5/2}b^{5/2} \]

Die Aussage "die Wurzel aus a + die Wurzel aus b = die Wurzel aus a + b" ist im Allgemeinen nicht korrekt. Es gibt jedoch spezielle Fälle, in denen diese Gleichung wahr ist. Ein Beispiel ist, wenn a = 0 und b = 0: \[ \sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0 + 0} \implies 0 + 0 = 0 \] Ein weiteres Beispiel ist, wenn a = 1 und b = 0: \[ \sqrt{1} + \sqrt{0} = \sqrt{1 + 0} \implies 1 + 0 = 1 \] In diesen speziellen Fällen stimmt die Gleichung. Für andere positive Werte von a und b gilt die Gleichung jedoch nicht.

Um die 5-te Wurzel von der 4-ten Wurzel von \(a^{12}\) zu berechnen, kannst du die Exponentenregel für Wurzeln und Potenzen verwenden. Die n-te Wurzel von \(a^m\) ist gleich \(a^{m/n}\). 1. Berechne zuerst die 4-te Wurzel von \(a^{12}\): \[ \sqrt[4]{a^{12}} = a^{12/4} = a^3 \] 2. Berechne dann die 5-te Wurzel des Ergebnisses: \[ \sqrt[5]{a^3} = a^{3/5} \] Also ist die 5-te Wurzel von der 4-ten Wurzel von \(a^{12}\) gleich \(a^{3/5}\).

Die Multiplikation von Wurzeln kann durch die Regel \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) vereinfacht werden. In deinem Fall: \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6\). Also ist \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = 6\).

Um den Ausdruck \( \frac{k \cdot \sqrt{2}}{4k^2} - \frac{\sqrt{2}}{4k} \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. Der erste Teil des Ausdrucks ist \( \frac{k \cdot \sqrt{2}}{4k^2} \). Dies kann vereinfacht werden, indem wir \( k \) im Zähler und Nenner kürzen: \[ \frac{k \cdot \sqrt{2}}{4k^2} = \frac{\sqrt{2}}{4k} \] 2. Der gesamte Ausdruck wird dann: \[ \frac{\sqrt{2}}{4k} - \frac{\sqrt{2}}{4k} \] 3. Da beide Teile identisch sind, ergibt sich: \[ 0 \] Das Ergebnis des gesamten Ausdrucks ist also \( 0 \).

Um den Ausdruck \((\sqrt{2})^{17} \cos\left(-17 + 4 \cdot \left(\sqrt{9}\right)^{12}\right)\) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Berechnung von \((\sqrt{2})^{17}\)**: \[ (\sqrt{2})^{17} = (2^{1/2})^{17} = 2^{17/2} = 2^{8.5} = 2^8 \cdot 2^{0.5} = 256 \cdot \sqrt{2} \] 2. **Berechnung von \((\sqrt{9})^{12}\)**: \[ (\sqrt{9})^{12} = (3)^{12} = 531441 \] 3. **Berechnung des Arguments der Kosinusfunktion**: \[ -17 + 4 \cdot 531441 = -17 + 2125764 = 2125747 \] 4. **Berechnung von \(\cos(2125747)\)**: Der Wert von \(\cos\) kann nicht direkt berechnet werden, da er von der Einheit abhängt (Radiant oder Grad). Für große Werte kann man den Winkel modulo \(2\pi\) (oder \(360^\circ\) für Grad) nehmen, um den entsprechenden Wert zu finden. 5. **Endgültiger Ausdruck**: Der endgültige Ausdruck ist: \[ 256 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(2125747) \] Um den genauen Wert von \(\cos(2125747)\) zu bestimmen, müsste man den Winkel in den entsprechenden Bereich bringen.

Die Wurzel aus 2 geteilt durch die Wurzel aus 5 kann mathematisch als \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\) dargestellt werden. Dies kann weiter vereinfacht werden: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \] Das Ergebnis ist also \(\sqrt{\frac{2}{5}}\). Wenn du eine numerische Approximation möchtest, ist \(\sqrt{\frac{2}{5}} \approx 0,632\).

Die Wurzel aus 2 geteilt durch die Wurzel aus 10 kann mathematisch wie folgt dargestellt werden: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Um das Ergebnis weiter zu vereinfachen, kann man den Bruch rationalisieren: \[ \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] Das Ergebnis ist also: \[ \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Um zu verstehen, warum \( \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{3} \) dasselbe ist wie \( 4 \cdot \sqrt{3} \), schauen wir uns die Berechnung Schritt für Schritt an. 1. Beginne mit dem Ausdruck \( \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{3} \). 2. Du kannst die 12 durch 3 teilen: \( \frac{12}{3} = 4 \). 3. Das ergibt: \( 4 \cdot \sqrt{3} \). Somit ist \( \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{3} = 4 \cdot \sqrt{3} \).

Die Vereinfachung von \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\) ergibt \(\sqrt{y^2}\), was gleich \(y\) ist, vorausgesetzt, \(y\) ist nicht negativ.

Um die Ausdrücke zu vereinfachen, schauen wir uns die beiden Terme an: 1. \(\sqrt{3} b\) 2. \(\sqrt{3} a2 b\) erste Ausdruck bleibt \(\sqrt{3} b\). Der zweite Ausdruck kann ebenfalls vereinfacht werden, indem wir die Wurzel und die Potenz betrachten: \(\sqrt{3} a^2 b\) bleibt in dieser Form, da es keine weiteren Vereinfachungen gibt. Zusammengefasst: - \(\sqrt{3} b\) - \(\sqrt{3} a^2 b\) Es gibt keine weiteren Vereinfachungen, die beide Ausdrücke gemeinsam betreffen.