4. Wurzel aus a^6 * b^2 / (Wurzel a * Wurzel b^-3)

Um den Ausdruck \( \frac{4\sqrt{a^6 b^2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b^{-3}}} \) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor.

1. Zuerst vereinfachen wir den Zähler:
\[
4\sqrt{a^6 b^2} = 4 \cdot \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^2} = 4 \cdot a^{6/2} \cdot b^{2/2} = 4 \cdot a^3 \cdot b = 4a^3b
\]

2. Nun den Nenner:
\[
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b^{-3}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{b^3}} = \frac{\sqrt{a}}{b^{3/2}}
\]

3. Setzen wir den Zähler und den Nenner zusammen:
\[
\frac{4a^3b}{\frac{\sqrt{a}}{b^{3/2}}} = 4a^3b \cdot \frac{b^{3/2}}{\sqrt{a}} = 4a^3b^{1 + 3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} = 4a^3b^{5/2} \cdot a^{-1/2}
\]

4. Jetzt fassen wir die Potenzen von \( a \) zusammen:
\[
4a^{3 - 1/2}b^{5/2} = 4a^{2.5}b^{5/2} = 4a^{5/2}b^{5/2}
\]

5. Das Endergebnis ist:
\[
4a^{5/2}b^{5/2}
\]

Zusammengefasst ergibt der vereinfachte Ausdruck:
\[
4a^{5/2}b^{5/2}
\]