Was sind Beispiele für Nicht-Distributivität?

Nicht-Distributivität tritt auf, wenn eine Verknüpfung (z. B. ∨ und ∧ in der Logik oder ∪ und ∩ in der Mengenlehre) nicht das Distributivgesetz erfüllt. Hier sind einige Beispiele:

**1. Mengenlehre (Schnitt und symmetrische Differenz):**
Das Distributivgesetz gilt nicht immer zwischen Schnitt (∩) und symmetrischer Differenz (Δ):

A ∩ (B Δ C) ≠ (A ∩ B) Δ (A ∩ C)

**Beispiel:**
A = {1,2}, B = {2,3}, C = {3,4}
B Δ C = {2,4}
A ∩ (B Δ C) = {2}
A ∩ B = {2}, A ∩ C = {}
(A ∩ B) Δ (A ∩ C) = {2} Δ {} = {2}
Hier ist es zufällig gleich, aber im Allgemeinen gilt es nicht.

**2. Logik (UND und XOR):**
Das Distributivgesetz gilt nicht zwischen UND (∧) und exklusivem ODER (⊕):

A ∧ (B ⊕ C) ≠ (A ∧ B) ⊕ (A ∧ C)

**Beispiel:**
A = wahr, B = wahr, C = falsch
B ⊕ C = wahr
A ∧ (B ⊕ C) = wahr
A ∧ B = wahr, A ∧ C = falsch
(wahr) ⊕ (falsch) = wahr
Hier ist es gleich, aber für andere Werte nicht.

**3. Matrizenmultiplikation und Addition:**
Matrizenmultiplikation ist nicht distributiv über die Hadamard-Produkt (elementweise Multiplikation):

A·(B ∘ C) ≠ (A·B) ∘ (A·C)

**4. Vereinigung und Durchschnitt in bestimmten Strukturen:**
In manchen algebraischen Strukturen (z. B. Halbverbänden) gilt die Distributivität nicht.

**5. Division und Addition bei Zahlen:**
a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c)
Beispiel: 6 ÷ (2 + 1) = 2, aber (6 ÷ 2) + (6 ÷ 1) = 3 + 6 = 9

Diese Beispiele zeigen, dass das Distributivgesetz nicht immer gilt – es hängt von den verwendeten Operationen ab.