Warum ist die Wurzel aus a² gleich dem Betrag von a in Abhängigkeit vom Zahlenraum?

Die Aussage „Die Wurzel aus a² ist gleich dem Betrag von a“ lässt sich mit den Eigenschaften der Quadratwurzel und des Betrags erklären – und das hängt vom Zahlenraum ab, in dem du dich befindest.

**Im Zahlenraum der reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)):**

- Das Quadrat einer Zahl \(a\) (also \(a^2\)) ist immer **nicht-negativ** (größer oder gleich 0), egal ob \(a\) selbst positiv oder negativ ist.
- Die Quadratwurzel \(\sqrt{x}\) ist für \(x \geq 0\) definiert und liefert **per Definition immer die nicht-negative Zahl**, deren Quadrat \(x\) ergibt.
- Der Betrag \(|a|\) ist ebenfalls immer nicht-negativ und gibt an, wie weit \(a\) von 0 entfernt ist, unabhängig vom Vorzeichen.

**Deshalb gilt:**
\[
\sqrt{a^2} = |a|
\]
Denn:
- Ist \(a \geq 0\), dann ist \(\sqrt{a^2} = \sqrt{a \cdot a} = a = |a|\).
- Ist \(a < 0\), dann ist \(\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a) \cdot (-a)} = -a = |a|\), weil \(-a\) dann positiv ist.

**Im Zahlenraum der komplexen Zahlen (\(\mathbb{C}\)):**

- Hier ist die Quadratwurzel nicht eindeutig, da jede Zahl (außer 0) zwei Quadratwurzeln hat.
- Die Definition \(\sqrt{a^2} = |a|\) gilt **so nicht mehr allgemein**, weil die Wurzel aus einer komplexen Zahl nicht eindeutig ist und der Betrag von \(a\) etwas anderes beschreibt (nämlich den Abstand zum Ursprung im komplexen Zahlenraum).

**Fazit:**
Die Gleichung \(\sqrt{a^2} = |a|\) gilt **im Zahlenraum der reellen Zahlen** (\(\mathbb{R}\)), weil die Quadratwurzel per Definition die nicht-negative Lösung ist und der Betrag genau diese nicht-negative Zahl liefert. In anderen Zahlenräumen, wie den komplexen Zahlen, gilt diese Gleichung nicht ohne Weiteres.