Wie berechnet man das Integral von 0 bis 0,25 der Funktion 1/(√x * (1-√x)) dx?

Gegeben ist das Integral:

\[
\int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})}
\]

Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an.

**Schritt 1: Substitution**

Setze \( u = \sqrt{x} \) ⇒ \( x = u^2 \) ⇒ \( dx = 2u\,du \).

Die Grenzen ändern sich:
- Für \( x = 0 \): \( u = 0 \)
- Für \( x = 0{,}25 \): \( u = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \)

**Schritt 2: Integral umschreiben**

\[
\int_{x=0}^{x=0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}
= \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2u\,du}{u(1-u)}
= \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u}
\]

**Schritt 3: Integral berechnen**

\[
\int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u}
= 2 \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{du}{1-u}
= 2 \left[ -\ln|1-u| \right]_{0}^{0{,}5}
\]

\[
= 2 \left( -\ln(1-0{,}5) + \ln(1-0) \right)
= 2 \left( -\ln(0{,}5) + \ln(1) \right)
= 2 \left( -\ln(0{,}5) \right)
= 2 \ln(2)
\]

**Schritt 4: Ergebnis**

\[
\boxed{2 \ln(2)}
\]

Das ist der exakte Wert. Näherungsweise:

\[
2 \ln(2) \approx 1{,}386
\]