49 Fragen zu Exponent

Wenn der Exponent und die Basis bei zwei verschiedenen Potenzen unterschiedlich sind, kannst du die Potenzen nicht direkt miteinander vergleichen oder zusammenfassen. Du musst die spezifischen Werte der Basis und des Exponenten betrachten, um das Ergebnis zu berechnen. Zum Beispiel, wenn du die Potenzen \( a^b \) und \( c^d \) hast, wobei \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \) unterschiedliche Werte sind, musst du jede Potenz einzeln berechnen: 1. Berechne \( a^b \). 2. Berechne \( c^d \). Danach kannst du die Ergebnisse vergleichen oder weiterverarbeiten, je nach Kontext der Aufgabe. Wenn du spezifische Werte hast, kann ich dir helfen, die Berechnung durchzuführen.

Die Aussage, dass \( a^z < a \) für einen Basiswert \( a > 1 \) und einen ganzzahligen Exponenten \( z \) gilt, kann widerlegt werden. Wenn \( a > 1 \) und \( z \) eine positive ganze Zahl ist, dann gilt: \[ a^z = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \quad (z \text{ mal}) \] Das Ergebnis \( a^z \) wird immer größer als \( a \) sein, da du \( a \) mit sich selbst multiplizierst. Wenn \( z = 0 \), dann gilt: \[ a^0 = 1 \] In diesem Fall ist \( 1 < a \), was die Aussage erfüllt, aber nicht für alle \( z \). Wenn \( z < 0 \) (also \( z \) eine negative ganze Zahl ist), dann gilt: \[ a^z = \frac{1}{a^{-z}} \quad (z \text{ negativ}) \] Da \( a > 1 \) und \( -z \) positiv ist, wird \( a^{-z} > 1 \), was bedeutet, dass \( a^z < 1 < a \) ist. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die Aussage nur für negative Exponenten \( z < 0 \) und den Exponenten \( z = 0 \) gilt, nicht jedoch für positive Exponenten.

Die Potenz mit der Basis vier und dem Exponenten drei ist \(4^3\). Das ergibt \(4 \times 4 \times 4 = 64\).

Das Exponent von 81 ist 4, da 3 hoch 4 (3^4) gleich 81 ist. In mathematischen Ausdrücken wird dies so dargestellt: \( 3^4 = 81 \).

Um den Ausdruck \((1 \cdot x^2 / 4)^{-5/2}\) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe den Ausdruck in einer einfacheren Form: \[ \left(\frac{x^2}{4}\right)^{-5/2} \] 2. Verwende die Potenzregel \((a/b)^n = a^n / b^n\): \[ \left(\frac{x^2}{4}\right)^{-5/2} = \frac{(x^2)^{-5/2}}{4^{-5/2}} \] 3. Vereinfache die einzelnen Teile: \[ (x^2)^{-5/2} = x^{2 \cdot (-5/2)} = x^{-5} \] \[ 4^{-5/2} = (2^2)^{-5/2} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \] 4. Setze die vereinfachten Teile zusammen: \[ \frac{x^{-5}}{\frac{1}{32}} = x^{-5} \cdot 32 = 32x^{-5} \] Der vereinfachte Ausdruck ist: \[ 32x^{-5} \]

Um diese mathematische Berechnung durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. Berechne \(2^{-1}\): \[ 2^{-1} = \frac{1}{2} \] 2. Teile das Ergebnis durch \(-21\): \[ \frac{\frac{1}{2}}{-21} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{-21} = \frac{1}{-42} = -\frac{1}{42} \] Das Ergebnis der Berechnung ist also \(-\frac{1}{42}\).

-2 hoch -1 ist der Kehrwert von -2. Das bedeutet, dass du 1 durch -2 teilst. Mathematisch ausgedrückt: \[ (-2)^{-1} = \frac{1}{-2} = -0,5 \] Also ist -2 hoch -1 gleich -0,5.

3⁴ - 3³ = 81 - 27 = 54

Um die Gleichung \(5^{(x+2)} = 125\) zu lösen, kannst du die Basis 5 auf beiden Seiten der Gleichung verwenden. Zunächst erkenne, dass 125 als Potenz von 5 geschrieben werden kann: \[125 = 5^3\] Setze dies in die Gleichung ein: \[5^{(x+2)} = 5^3\] Da die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein: \[x + 2 = 3\] Löse die Gleichung nach \(x\) auf: \[x = 3 - 2\] \[x = 1\] Die Lösung der Gleichung ist also: \[x = 1\]

Um die Gleichung \(4^{-x} = \frac{1}{64}\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe beide Seiten der Gleichung als Potenzen mit derselben Basis. Beachte, dass \(4 = 2^2\) und \(64 = 2^6\). Daher kann die Gleichung umgeschrieben werden als: \[ (2^2)^{-x} = 2^{-6} \] 2. Vereinfache die linke Seite der Gleichung: \[ 2^{-2x} = 2^{-6} \] 3. Da die Basen gleich sind, können die Exponenten gleichgesetzt werden: \[ -2x = -6 \] 4. Löse die Gleichung nach \(x\) auf: \[ x = \frac{-6}{-2} = 3 \] Die Lösung der Gleichung ist also: \[ x = 3 \]

Eine Funktion der Form \( f(x) = x^n \) mit einem positiven ungeraden Exponenten \( n \) ist streng monoton steigend. Das bedeutet, dass für alle \( x_1 < x_2 \) gilt \( f(x_1) < f(x_2) \).

Eine Funktion der Form \( f(x) = x^n \) mit einem geraden und positiven Exponenten \( n \) ist auf dem gesamten Definitionsbereich monoton. Genauer gesagt: - Für \( x \geq 0 \) ist die Funktion monoton steigend, da \( f'(x) = nx^{n-1} \) für \( x \geq 0 \) positiv ist. - Für \( x \leq 0 \) ist die Funktion monoton fallend, da \( f'(x) = nx^{n-1} \) für \( x \leq 0 \) negativ ist. Zusammengefasst bedeutet dies, dass die Funktion \( f(x) = x^n \) mit geradem und positivem Exponenten auf \( (-\infty, 0] \) monoton fallend und auf \( [0, \infty) \) monoton steigend ist.

Der Ausdruck \((2^x) \cdot x^2\) kann nicht weiter vereinfacht werden, da er bereits in seiner einfachsten Form vorliegt. Es handelt sich um das Produkt einer Exponentialfunktion und einer Potenzfunktion, und es gibt keine algebraische Regel, die diese beiden Terme weiter zusammenfassen würde.

\( \frac{1}{2} \) hoch 3 ist gleich \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \).

\( \left(\frac{1}{2}\right)^4 =frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} \).