Begründe oder widerlege: Basis a > 1 und ganzzahliger Exponent z, sodass a^z < a.

Die Aussage, dass \( a^z < a \) für einen Basiswert \( a > 1 \) und einen ganzzahligen Exponenten \( z \) gilt, kann widerlegt werden.

Wenn \( a > 1 \) und \( z \) eine positive ganze Zahl ist, dann gilt:

\[
a^z = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \quad (z \text{ mal})
\]

Das Ergebnis \( a^z \) wird immer größer als \( a \) sein, da du \( a \) mit sich selbst multiplizierst.

Wenn \( z = 0 \), dann gilt:

\[
a^0 = 1
\]

In diesem Fall ist \( 1 < a \), was die Aussage erfüllt, aber nicht für alle \( z \).

Wenn \( z < 0 \) (also \( z \) eine negative ganze Zahl ist), dann gilt:

\[
a^z = \frac{1}{a^{-z}} \quad (z \text{ negativ})
\]

Da \( a > 1 \) und \( -z \) positiv ist, wird \( a^{-z} > 1 \), was bedeutet, dass \( a^z < 1 < a \) ist.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die Aussage nur für negative Exponenten \( z < 0 \) und den Exponenten \( z = 0 \) gilt, nicht jedoch für positive Exponenten.