Wie formt man 8 = 1/3^x zu x^3 = 1/8 um?

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenweg:

1. **Starte mit der Gleichung:**
\[
8 = \frac{1}{3^x}
\]

2. **Beide Seiten mit \( 3^x \) multiplizieren:**
\[
8 \cdot 3^x = 1
\]

3. **Beide Seiten durch 8 teilen:**
\[
3^x = \frac{1}{8}
\]

4. **Beide Seiten logarithmieren (z.B. mit dem natürlichen Logarithmus):**
\[
\ln(3^x) = \ln\left(\frac{1}{8}\right)
\]
\[
x \cdot \ln(3) = -\ln(8)
\]
\[
x = \frac{-\ln(8)}{\ln(3)}
\]

5. **Alternativ: Schreibe \( \frac{1}{8} \) als \( 8^{-1} \) und setze \( 3^x = 8^{-1} \):**
\[
3^x = 8^{-1}
\]
\[
3^x = (2^3)^{-1}
\]
\[
3^x = 2^{-3}
\]

6. **Logarithmiere beide Seiten (z.B. mit Logarithmus zur Basis 3):**
\[
x = \log_3(2^{-3})
\]
\[
x = -3 \cdot \log_3(2)
\]

7. **Jetzt möchtest du zu \( x^3 = \frac{1}{8} \) kommen.**

Das ist eine andere Gleichung, die du erhältst, wenn du die ursprüngliche Gleichung umstellst, indem du beide Seiten mit der dritten Wurzel versiehst:

\[
3^x = \frac{1}{8}
\]
\[
x = \log_3\left(\frac{1}{8}\right)
\]
\[
x = \log_3(8^{-1}) = -\log_3(8)
\]

Jetzt betrachte die Gleichung \( x^3 = \frac{1}{8} \):

\[
x^3 = \frac{1}{8}
\]
\[
x = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3}
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]

**Fazit:**
Um von \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umstellen, dass \( 3^x = \frac{1}{8} \) gilt, und dann die Variable \( x \) als Basis einer Potenz schreiben, sodass \( x^3 = \frac{1}{8} \) entsteht. Das ist mathematisch gesehen ein Umstellen der Gleichung und ein Wechsel der Variablenrolle.

**Zusammengefasst:**
Du stellst die Gleichung so um, dass die Variable \( x \) auf einer Seite als Basis mit Exponent 3 steht und auf der anderen Seite \( \frac{1}{8} \) ist. Das ist eine Umformung durch Potenzgesetze und Umstellen der Gleichung.