Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung

\[
\frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1
\]

nach \( a \) auflösen möchtest.

**Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf**

\[
\frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1
\]

**Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren**

\[
a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}
\]

**Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen**

\[
a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2}
\]

\[
a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2}
\]

**Schritt 4: Nach \( a \) auflösen**

\[
a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}}
\]

**Schritt 5: Werte berechnen**

- \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1.
- \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Also:

\[
a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}
\]

**Schritt 6: Bruch vereinfachen**

\[
a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}}
\]
\[
a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}
\]

**Optional: Bruch rationalisieren**

\[
a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2}
\]

**Endergebnis:**

\[
a = 2 + \sqrt{2}
\]

Das ist die Lösung für \( a \).