2 Fragen zu Radizieren

1. **Quadrieren einer Zahl**: Wenn du eine Zahl quadrierst (z. B. \(x^2\)), multiplizierst du die Zahl mit sich selbst. Das Ergebnis ist immer positiv oder null, da das Produkt zweier negativer oder positiver Zahlen immer positiv ist. 2. **Radizieren einer Zahl**: Die Quadratwurzel einer Zahl (z. B. \(\sqrt{x}\)) gibt die Zahl an, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt. Die Quadratwurzel einer positiven Zahl ist immer positiv, während die Quadratwurzel von null null ist. Negative Zahlen haben im Bereich der reellen Zahlen keine Quadratwurzel. 3. **Zusammenhang zwischen Quadrieren und Radizieren**: Wenn du eine Zahl quadrierst und dann die Quadratwurzel ziehst, erhältst du die ursprüngliche Zahl zurück (z. B. \(\sqrt{x^2} = |x|\)). Dabei ist zu beachten, dass das Ergebnis der Quadratwurzel immer positiv ist.

Die Gleichung \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\) lässt sich durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck erklären. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Beginne mit dem Ausdruck \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\). 2. Multipliziere und dividiere diesen Ausdruck mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\): \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] 3. Im Zähler steht nun ein Produkt der Form \((a - b)(a + b)\), was der Differenz der Quadrate entspricht: \[ (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 \] 4. Berechne die Quadrate: \[ (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n+1) - n = 1 \] . Setze dies in den Zähler ein: \[ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] Daher gilt: \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \] Diese Identität zeigt, wie durch die Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck der ursprüngliche Ausdruck vereinfacht werden kann.