Warum gilt Wurzel(n+1) - Wurzel(n) = 1/(wurzel(n+1) + Wurzeln(n))?

Die Gleichung \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\) lässt sich durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck erklären. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. Beginne mit dem Ausdruck \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\).

2. Multipliziere und dividiere diesen Ausdruck mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\):

\[
\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
\]

3. Im Zähler steht nun ein Produkt der Form \((a - b)(a + b)\), was der Differenz der Quadrate entspricht:

\[
(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2
\]

4. Berechne die Quadrate:

\[
(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n+1) - n = 1
\]

. Setze dies in den Zähler ein:

\[
\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
\]

Daher gilt:

\[
\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
\]

Diese Identität zeigt, wie durch die Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck der ursprüngliche Ausdruck vereinfacht werden kann.