11 Fragen zu Sinusfunktion

Der Definitionsbereich der Sinusfunktion, also der Funktion \( \sin(x) \), umfasst alle reellen Zahlen. Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \). Das bedeutet, dass du für \( x \) jeden beliebigen reellen Wert einsetzen kannst.

Die Sinusfunktion, oft als \( \sin(x) \) geschrieben, ist für alle reellen Zahlen definiert. Das bedeutet, der Definitionsbereich der Sinusfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen, also \( \mathbb{R} \). Die Werte, die die Sinusfunktion annimmt, liegen im Intervall \([-1, 1]\). Das bedeutet, für jeden Wert \( x \) im Definitionsbereich gilt \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \).

Die Nullstellen der Sinusfunktion \( \sin(x) \) sind die Werte von \( x \), bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Diese Nullstellen liegen bei: \[ x = n\pi \] wobei \( n \) eine ganze Zahl ist (d.h. \( n \in \mathbb{Z} \)). Das bedeutet, die Nullstellen der Sinusfunktion sind bei \( x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \ldots \).

Die Maximalwerte der Sinusfunktion (sin(x)) sind 1 und -1. Der Sinuswert eines Winkels x liegt immer im Bereich von -1 bis 1, unabhängig vom Wert von x.

Das Monotonieverhalten der Sinusfunktion \( f(x) = \sin(x) \) kann wie folgt zusammengefasst werden: 1. **Monoton steigend**: Die Sinusfunktion ist im Intervall \( \left[ 2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2} \right] \) monoton steigend, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. In diesen Intervallen nimmt der Funktionswert von \( -1 \) bis \( 1 \) zu. 2. **Monoton fallend**: Die Sinusfunktion ist im Intervall \( \left[ 2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \right] \) monoton fallend. Hier sinkt der Funktionswert von \( 1 \) bis \( -1 \). Zusammengefasst: Die Sinusfunktion hat ein periodisches Verhalten mit einer Periode von \( 2\pi \) und wechselt zwischen monoton steigend und fallend in den oben genannten Intervallen.

Der Fachbegriff für den Multiplikator vor einer Sinusfunktion ist "Amplitude". Die Amplitude gibt an, wie stark die Sinuskurve von der Mittellinie abweicht.

Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mittelwert an (Betrag von \(a\)). 2. **Periode**: Die Länge eines vollständigen Zyklus, berechnet als \( \frac{2\pi}{|b|} \). 3. **Frequenz**: Anzahl der Schwingungen pro Einheit, berechnet als \( \frac{|b|}{2\pi} \). 4. **Phasenverschiebung** (\(c\)): Verschiebung entlang der x-Achse, berechnet als \( -\frac{c}{b} \). 5. **Vertikale Verschiebung** (\(d\)): Verschiebung entlang der y-Achse. 6. **Nullstellen**: Die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. 7. **Maxima und Minima**: Die höchsten und tiefsten Punkte der Funktion. 8. **Symmetrie**: Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (bei Standardform). 9. **Definitionsbereich**: Meist ganz \(\mathbb{R}\). 10. **Wertebereich**: Von \(d-a\) bis \(d+a\). 11. **Ableitung**: Die Ableitung einer Sinusfunktion ist eine Kosinusfunktion. 12. **Stetigkeit und Differenzierbarkeit**: Die Sinusfunktion ist überall stetig und differenzierbar. 13. **Monotonie**: Abschnitte, in denen die Funktion steigt oder fällt. Diese Eigenschaften beschreiben das Verhalten und die Form einer Sinusfunktion umfassend.

Die Minimalwerte einer Sinusfunktion der Form \( f(x) = \sin(x) \) findest du an den Stellen, an denen der Sinus den Wert \(-1\) annimmt. Diese Stellen sind bei \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \) für \( k \in \mathbb{Z} \). Das bedeutet, dass die Minimalwerte der Sinusfunktion periodisch bei \( \frac{3\pi}{2} \) plus Vielfachen von \( 2\pi \) auftreten.

Der Sinuswert von 0,56 kann in zwei verschiedenen Winkeln zwischen 0° und 360° auftreten. Der erste Winkel ist der Hauptwinkel, den du bereits hast, und der zweite Winkel kann durch die Beziehung \(180° - \text{Hauptwinkel}\) gefunden werden. Um den Hauptwinkel zu bestimmen, kannst du den Arkussinus verwenden: \[ \text{Hauptwinkel} = \arcsin(0,56) \approx 34,8° \] Der andere Winkel ist dann: \[ 180° - 34,8° \approx 145,2° \] Somit sind die beiden Winkel, bei denen die Sinusfunktion den Wert 0,56 annimmt, etwa 34,8° und 145,2°.

Die Werte, die du aufgelistet hast, scheinen die Sinuswerte für bestimmte Winkel in Bogenmaß oder Grad darzustellen. Hier sind die korrekten Sinuswerte für die Winkel 0 bis 360 Grad (in 30-Grad-Schritten): 1. Sin(0°) = 0 2. Sin(30°) = 0.5 3. Sin(60°) = 0.87 (ungefähr) 4. Sin(90°) = 1 5. Sin(120°) = 0.87 (ungefähr) 6. Sin(150°) = 0.5 7. Sin(180°) = 0 8. Sin(210°) = -0.5 9. Sin(240°) = -0.87 (ungefähr) 10. Sin(270°) = -1 11. Sin(300°) = -0.87 (ungefähr) 12. Sin(330°) = -0.5 13. Sin(360°) = 0 Es scheint, dass du die Werte für die ersten sechs Winkel korrekt angegeben hast, aber die Werte für die Winkel 210°, 240°, 270°, 300° und 330° fehlen oder sind nicht korrekt.

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3} \) zu berechnen, wird die Quotientenregel verwendet. Die Quotientenregel besagt, dass für zwei Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \): \[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Hier \( u(x) = \sin(x) \) und \( v(x) = x^3 \). Zuerst werden die Ableitungen von \( u(x) \) und \( v(x) \) berechnet: \[ u'(x) = \cos(x) \] \[ v'(x) = 3x^2 \] Nun wird die Quotientenregel angewendet: \[ f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot x^3 - \sin(x) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} \] Das wird weiter vereinfacht: \[ f'(x) = \frac{x^3 \cos(x) - 3x^2 \sin(x)}{x^6} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 (x \cos(x) - 3 \sin(x))}{x^6} \] \[ f'(x) = \frac{x \cos(x) - 3 \sin(x)}{x^4} \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3} \): \[ f'(x) = \frac{x \cos(x) - 3 \sin(x)}{x^4} \]