Bestimme den anderen Winkel zwischen 0° und 360°, bei dem die Sinusfunktion den Wert 0,56 annimmt.

Question

Bestimme den anderen Winkel zwischen 0° und 360°, bei dem die Sinusfunktion den Wert 0,56 annimmt.

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann ich eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung verwenden?

Wie berechnet man die Winkelneigung bei 1 mm Gegenkathete und 40 mm Ankathete?

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?

Was ist eine Integralfunktion?

Welcher Wortschatz ist typisch bei der Laplace-Transformation?

Was ist die Produktregel einfach erklärt?

Wie groß ist der Winkel, dessen Tangens 2 ergibt?

Welche Funktion hat ein Maximum bei (332.0822, 0.83269) und ein Minimum bei (332.2387, -0.82764) und konvergiert für x gegen unendlich gegen die x-Achse?

Welche Funktion besitzt sowohl ein Minimum als auch ein Maximum und hat auf beiden Seiten eine Asymptote zur x-Achse?

Wie kann ich aus Entfernung und Höhe den Winkel berechnen?

Accepted Answer

Der Sinuswert von 0,56 kann in zwei verschiedenen Winkeln zwischen 0° und 360° auftreten. Der erste Winkel ist der Hauptwinkel, den du bereits hast, und der zweite Winkel kann durch die Beziehung \(180° - \text{Hauptwinkel}\) gefunden werden. Um den Hauptwinkel zu bestimmen, kannst du den Arkussinus verwenden: \[ \text{Hauptwinkel} = \arcsin(0,56) \approx 34,8° \] Der andere Winkel ist dann: \[ 180° - 34,8° \approx 145,2° \] Somit sind die beiden Winkel, bei denen die Sinusfunktion den Wert 0,56 annimmt, etwa 34,8° und 145,2°.

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

Accepted Answer

Um die Winkelneigung (den Winkel α) zu berechnen, wenn die Gegenkathete 1 mm und die Ankathete 40 mm beträgt, verwendest du die Tangens-Funktion: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete... [mehr]

Accepted Answer

Um die Winkelneigung (den Winkel α) zu berechnen, wenn die Gegenkathete 1 mm und die Ankathete 40 mm beträgt, verwendest du die Tangens-Funktion: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{1}{40} \] Um den Winkel zu berechnen, benötigst du den Arkustangens (arctan oder tan⁻¹): \[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{40}\right) \] Das ergibt: \[ \alpha \approx \arctan(0{,}025) \approx 1{,}432^\circ \] **Antwort:** Die Winkelneigung beträgt etwa **1,43 Grad**.

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Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \] mit \( u(x) = (x-3)(x+2) \) \( v(x) = (x+1)(x+5) \) Zuerst die Ableitungen berechnen: **1. \( u(x) \) und \( u'(x) \):** \( u(x) = (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \) \( u'(x) = 2x - 1 \) **2. \( v(x) \) und \( v'(x) \):** \( v(x) = (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5 \) \( v'(x) = 2x + 6 \) **Jetzt die Quotientenregel anwenden:** \[ f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+6x+5) - (x^2-x-6)(2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} \] **Optional: Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:** 1. \((2x-1)(x^2+6x+5) = 2x^3 + 12x^2 + 10x - x^2 - 6x - 5 = 2x^3 + 11x^2 + 4x - 5\) 2. \((x^2-x-6)(2x+6) = (x^2-x-6)2x + (x^2-x-6)6 = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 6x^2 - 6x - 36 = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36\) Jetzt den Zähler zusammenfassen: \[ [2x^3 + 11x^2 + 4x - 5] - [2x^3 + 4x^2 - 18x - 36] = (2x^3 - 2x^3) + (11x^2 - 4x^2) + (4x + 18x) + (-5 + 36) \] \[ = 0x^3 + 7x^2 + 22x + 31 \] **Endergebnis:** \[ \boxed{ f'(x) = \frac{7x^2 + 22x + 31}{(x^2 + 6x + 5)^2} } \]

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \... [mehr]

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \( F(x) \) eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f(x) \) ergibt, also gilt: \[ F'(x) = f(x) \] Die allgemeine Form einer Integralfunktion ist: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \text{Stammfunktion von } f(x) + C \] wobei \( C \) eine beliebige Konstante ist (Integrationskonstante). **Beispiel:** Für \( f(x) = 2x \) ist eine Integralfunktion \( F(x) = x^2 + C \), denn die Ableitung von \( x^2 + C \) ist wieder \( 2x \). Integralfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Analysis, insbesondere bei der Berechnung von Flächen und bei der Lösung von Differentialgleichungen.

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Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F... [mehr]

Accepted Answer

Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F(s) \) im Bildbereich überführt. - **Rücktransformation** (Inverse Laplace-Transformation): Umkehrung der Laplace-Transformation, Rückführung in den Zeitbereich. - **Zeitbereich**: Bereich, in dem die ursprüngliche Funktion \( f(t) \) definiert ist. - **Bildbereich**: Bereich, in dem die transformierte Funktion \( F(s) \) existiert. - **s-Bereich**: Komplexe Variable \( s \) im Bildbereich (\( s = \sigma + j\omega \)). - **Übertragungsfunktion**: Funktion, die das Verhalten eines Systems im Bildbereich beschreibt. - **Pol**: Wert von \( s \), bei dem \( F(s) \) gegen unendlich strebt. - **Nullstelle**: Wert von \( s \), bei dem \( F(s) = 0 \). - **Kausalität**: Eigenschaft, dass eine Funktion nur für \( t \geq 0 \) definiert ist. - **Lineare Differentialgleichung**: Gleichung, die oft mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst wird. - **Anfangsbedingungen**: Startwerte der Funktion und ihrer Ableitungen bei \( t = 0 \). - **Einseitige Laplace-Transformation**: Transformation für \( t \geq 0 \). - **Zweiseitige Laplace-Transformation**: Transformation für \( -\infty < t < \infty \). - **Faltungssatz**: Regel zur Berechnung der Laplace-Transformation des Faltungsintegrals zweier Funktionen. - **Frequenzbereich**: Bereich, in dem die Frequenzkomponenten einer Funktion betrachtet werden. - **Residuensatz**: Methode zur Berechnung der Rücktransformation mittels komplexer Integration. - **Sprungfunktion** (Heaviside-Funktion): Häufig verwendete Funktion als Eingangssignal. - **Impulsfunktion** (Dirac-Delta-Funktion): Idealisierte Funktion zur Modellierung von Impulsen. Diese Begriffe sind grundlegend für das Verständnis und die Anwendung der Laplace-Transformation in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

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Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(... [mehr]

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Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

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Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist also der Winkel \( x \), für den gilt: \[ \tan(x) = 2 \... [mehr]

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Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist also der Winkel \( x \), für den gilt: \[ \tan(x) = 2 \] Um den Winkel zu berechnen, nutzt man die Umkehrfunktion des Tangens, also den Arkustangens (arctan oder tan\(^{-1}\)): \[ x = \arctan(2) \] Mit einem Taschenrechner oder einer entsprechenden Software erhält man: \[ x \approx 63{,}43^\circ \] In Radiant: \[ x \approx 1{,}107 \text{ rad} \] Der Winkel, dessen Tangens 2 ist, beträgt also etwa **63,43 Grad**.

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Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \(... [mehr]

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Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \( f(x) \to 0 \)) konvergiert. Eine typische Funktionsform, die solche Eigenschaften aufweist, ist die **gedämpfte Sinusfunktion** oder eine **Gauß-modulierte Sinusfunktion**. Ein Beispiel: \[ f(x) = A \cdot e^{-k(x-x_0)} \cdot \sin(\omega(x-x_0)) \] Hierbei: - \( A \) ist die Amplitude, - \( k \) ist die Dämpfung, - \( x_0 \) ist eine Verschiebung, - \( \omega \) ist die Kreisfrequenz. **Vorgehen zur Bestimmung der Parameter:** 1. **Null-Lage:** Da die Extrema sehr nahe beieinander liegen, ist die Periode klein. Die Funktion schwingt also nur wenig. 2. **Maximum und Minimum:** Die Werte und Abstände der Extrema bestimmen Amplitude und Frequenz. 3. **Asymptotisches Verhalten:** Der Exponentialterm sorgt dafür, dass \( f(x) \to 0 \) für \( x \to \infty \). **Konkretisierung:** Setze \( x_0 = 332.0822 \) (Maximum bei \( x_0 \)), dann ist das Minimum bei \( x_1 = 332.2387 \). Der Abstand zwischen Maximum und Minimum ist: \[ \Delta x = x_1 - x_0 = 332.2387 - 332.0822 = 0.1565 \] Für eine Sinusfunktion liegt das Minimum eine halbe Periode nach dem Maximum, also: \[ \frac{T}{2} = 0.1565 \implies T = 0.313 \] \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \approx \frac{2\pi}{0.313} \approx 20.08 \] Die Amplitude ist etwa der Mittelwert der Beträge der Extrema: \[ A \approx \frac{0.83269 + 0.82764}{2} \approx 0.830 \] Die Dämpfung \( k \) muss so gewählt werden, dass die Funktion für große \( x \) gegen 0 geht. Ein kleiner positiver Wert, z.B. \( k = 0.01 \), reicht oft. **Beispielhafte Funktion:** \[ f(x) = 0.830 \cdot e^{-0.01(x-332.0822)} \cdot \sin(20.08(x-332.0822)) \] Diese Funktion hat: - Ein Maximum bei \( x = 332.0822 \) mit ca. 0.83, - Ein Minimum bei \( x = 332.2387 \) mit ca. -0.83, - Und konvergiert für \( x \to \infty \) gegen 0. **Hinweis:** Die Werte sind angenähert. Für exakte Werte müsste man die Gleichungen für Maximum und Minimum exakt lösen. **Weitere Informationen:** - [Sinusfunktion – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus) - [Gedämpfte Schwingung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Ged%C3%A4mpfte_Schwingung)

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Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktio... [mehr]

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Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktion \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] **Eigenschaften:** - Für \( x \to \pm\infty \) gilt: \( f(x) \to 0 \) (x-Achse ist Asymptote). - Die Funktion hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. **Begründung:** - Die Ableitung \( f'(x) = \frac{3x^2(1 + x^2) - 2x^4}{(1 + x^2)^2} \) zeigt, dass es zwei Extremstellen gibt. - Die Funktion ist für alle \( x \) definiert. **Graphische Darstellung:** Du kannst dir den Graphen z.B. bei [Desmos](https://www.desmos.com/calculator) oder [GeoGebra](https://www.geogebra.org/graphing) anschauen, um die Eigenschaften zu überprüfen. **Zusammenfassung:** \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] ist eine Funktion mit Minimum, Maximum und der x-Achse als Asymptote auf beiden Seiten.

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Um den Winkel zu berechnen, wenn du die Entfernung (Grundlinie) und die Höhe (Gegenkathete) hast, kannst du die folgende Formel aus der Trigonometrie verwenden: **tan(α) = Höhe / Entf... [mehr]

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Um den Winkel zu berechnen, wenn du die Entfernung (Grundlinie) und die Höhe (Gegenkathete) hast, kannst du die folgende Formel aus der Trigonometrie verwenden: **tan(α) = Höhe / Entfernung** Der Winkel α ergibt sich dann durch die Umkehrfunktion des Tangens (Arctan oder tan⁻¹): **α = arctan(Höhe / Entfernung)** Du kannst das mit einem Taschenrechner oder online berechnen, indem du z.B. eingibst: arctan(Höhe ÷ Entfernung) Das Ergebnis ist der Winkel in Grad (je nach Einstellung des Rechners). **Beispiel:** - Höhe = 3 m - Entfernung = 4 m α = arctan(3 / 4) ≈ 36,87° Falls du einen Online-Rechner nutzen möchtest, findest du z.B. hier einen: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/rechner_winkel.htm Falls du weitere Werte hast, kannst du sie einfach einsetzen.