14 Fragen zu Definitionsbereich

Der Definitionsbereich der Sinusfunktion, also der Funktion \( \sin(x) \), umfasst alle reellen Zahlen. Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \). Das bedeutet, dass du für \( x \) jeden beliebigen reellen Wert einsetzen kannst.

Der Wertebereich und der Definitionsbereich sind grundlegende Konzepte in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie. 1. **Definitionsbereich (auch: Definitionsmenge)**: - Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Eingabewerte (x-Werte), für die die Funktion definiert ist. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer 0, da die Division durch 0 nicht definiert ist. 2. **Wertebereich (auch: Wertemenge oder Bildmenge)**: - Der Wertebereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte (y-Werte), die die Funktion annehmen kann. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = x^2 \) ist der Wertebereich alle nicht-negativen reellen Zahlen, da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist. Zusammengefasst: - Der **Definitionsbereich** gibt an, welche Werte in die Funktion eingegeben werden dürfen. - Der **Wertebereich** gibt an, welche Werte als Ergebnis der Funktion herauskommen können.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, die du in die Funktion einsetzen kannst, damit sie einen gültigen Wert liefert. Einfach gesagt, es sind alle möglichen Eingabewerte (x-Werte), für die die Funktion definiert ist. Zum Beispiel, bei der Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer \( x = 0 \), weil du durch Null nicht teilen kannst.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, für die die Funktion definiert ist. Hier sind einige allgemeine Regeln, um den Definitionsbereich zu bestimmen: 1. **Brüche**: Der Nenner darf nicht null sein. Beispiel: Bei \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) darf \( x \) nicht 2 sein, also ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). 2. **Wurzeln**: Der Ausdruck unter der Wurzel muss nicht-negativ sein. Beispiel: Bei \( f(x) = \sqrt{x-3} \) muss \( x-3 \geq 0 \) sein, also ist der Definitionsbereich \( [3, \infty) \). 3. **Logarithmen**: Der Ausdruck innerhalb des Logarithmus muss positiv sein. Beispiel: Bei \( f(x) = \log(x-1) \) muss \( x-1 > 0 \) sein, also ist der Definitionsbereich \( (1, \infty) \). 4. **Trigonometrische Funktionen**: Bestimmte trigonometrische Funktionen haben Einschränkungen. Beispiel: Bei \( f(x) = \tan(x) \) darf \( x \) nicht \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) (für \( k \in \mathbb{Z} \)) sein, da der Tangens an diesen Stellen nicht definiert ist. 5. **Allgemeine Polynomfunktionen**: Diese sind für alle reellen Zahlen definiert. Beispiel: Bei \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \). Um den Definitionsbereich einer spezifischen Funktion zu bestimmen, musst du die oben genannten Regeln auf die Funktion anwenden und alle Einschränkungen berücksichtigen.

Um den maximalen Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^4 - 5x^2 + 4} \) zu bestimmen, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden, da die Funktion nur dort definiert ist, wo der Nenner nicht null ist. 1. **Bestimmung der Nullstellen des Nenners:** Der Nenner ist \( x^4 - 5x^2 + 4 \). Um die Nullstellen zu finden, setzen wir den Nenner gleich null: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Wir setzen \( y = x^2 \), dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich die Lösungen: \[ y_1 = 4 \quad \text{und} \quad y_2 = 1 \] Da \( y = x^2 \), erhalten wir: \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Somit sind die Nullstellen des Nenners \( x = -2, -1, 1, 2 \). 2. **Maximaler Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich der Funktion ist also: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] 3. **Untersuchung der Definitionslücken auf Hebbarkeit:** Eine Definitionslücke ist hebbar, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls null ist. Wir prüfen die Nullstellen des Zählers \( x^2 - 5x + 4 \): \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Diese Gleichung hat die Lösungen: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich: \[ x_1 = 4 \quad \text{und} \quad x_2 = 1 \] Da \( x = 1 \) eine Nullstelle des Zählers ist und auch eine Nullstelle des Nenners, ist die Lücke bei \( x = 1 \) hebbar. Für \( x = -2 \) und \( x = -1 \) sowie \( x = 2 \) ist der Zähler nicht null, daher sind diese Lücken nicht hebbar. Zusammenfassend ist der maximale Definitionsbereich: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] Die Lücke bei \( x = 1 \) ist hebbar, während die Lücken bei \( x = -2, -1, 2 \) nicht hebbar sind.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, für die die Funktion definiert ist. Das bedeutet, es sind die Eingabewerte (x-Werte), die in die Funktion eingesetzt werden können, ohne dass es zu mathematischen Problemen wie Division durch Null oder der Quadratwurzel aus negativen Zahlen kommt. Der Wertebereich hingegen ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte (y-Werte), die die Funktion annehmen kann, wenn man alle Werte aus dem Definitionsbereich einsetzt. Zusammengefasst: - **Definitionsbereich**: Alle zulässigen Eingabewerte (x). - **Wertebereich**: Alle möglichen Ausgabewerte (y).

Der Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = (2x + 4)^{1/6} \) besteht aus den Werten von \( x \), für die der Ausdruck unter der Wurzel definiert ist. Da es sich um eine sechste Wurzel handelt, ist der Ausdruck \( 2x + 4 \) für alle reellen Zahlen definiert, da die sechste Wurzel von einer nicht-negativen Zahl immer existiert. Um den Definitionsbereich zu bestimmen, setzen wir die Bedingung: \[ 2x + 4 \geq 0 \] Das ergibt: \[ 2x \geq -4 \] \[ x \geq -2 \] Somit ist der Definitionsbereich der Funktion \( f(x) \) der Intervall: \[ D_f = [-2, \infty) \]

Der Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2 + 5} \) umfasst alle reellen Zahlen, da der Nenner \( x^2 + 5 \) für alle \( x \) immer positiv ist (da \( x^2 \) immer nicht negativ ist und 5 addiert wird). Es gibt also keine Werte von \( x \), für die die Funktion undefiniert ist. Der Definitionsbereich ist somit \( \mathbb{R} \) (alle reellen Zahlen).

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, für die die Funktion definiert ist. Bei der Funktion \( f(x) = \frac{x + 3}{x^2 + x} \) muss der Nenner ungleich null sein, da eine Division durch null nicht definiert ist. Zuerst setzen wir den Nenner gleich null und lösen die Gleichung: \[ x^2 + x = 0 \] Faktorisieren ergibt: \[ x(x + 1) = 0 \] Die Lösungen sind: \[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = -1 \] Das bedeutet, dass die Funktion an den Stellen \( x = 0 \) und \( x = -1 \) nicht definiert ist. Der Definitionsbereich \( WS \) der Funktion ist somit: \[ WS = \mathbb{R} \setminus \{0, -1\} \] Das heißt, der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen außer 0 und -1.

Der Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \sqrt{x^2 - 9} \) besteht aus den Werten von \( x \), für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist. Das bedeutet, dass die Bedingung \( x^2 - 9 \geq 0 \) erfüllt sein muss. Um diese Ungleichung zu lösen, setzt man: 1. \( x^2 - 9 = 0 \) ergibt \( x^2 = 9 \) und somit \( x = 3 \) oder \( x = -3 \). 2. Die Ungleichung \( x^2 - 9 \geq 0 \) ist erfüllt, wenn \( x \leq -3 \) oder \( x \geq 3 \). Daher ist der Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \sqrt{x^2 - 9} \) die Menge: \[ D = (-\infty, -3] \cup [3, \infty) \]

Der Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)} \) umfasst alle reellen Zahlen \( x \), für die der Nenner \( \sin(x) \) ungleich null ist. Da der Sinus bei \( x = n\pi \) (mit \( n \in \mathbb{Z} \)) den Wert null annimmt, sind diese Punkte nicht im Definitionsbereich enthalten. Somit ist der Definitionsbereich von \( f(x) \) gegeben durch: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{ n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \} \] Das bedeutet, dass alle reellen Zahlen außer den Vielfachen von \( \pi \) im Definitionsbereich liegen.

Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, für welche Werte derablen die Funktion definiert ist. Bei den gegebenen Brüchen müssen wir die Werte finden, die den Nenner null machen, da diese Werte nicht erlaubt sind. 1. Für den ersten Bruch \(\frac{x-5}{x+3}\): - Der Nenner ist \(x + 3\). Setzen wir diesen gleich null: \[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \] - Daher ist \(x = -3\) nicht im Definitionsbereich. 2. Für den zweiten Bruch \(\frac{1}{x-2}\): - Der Nenner ist \(x - 2\). Setzen wir diesen gleich null: \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] - Daher ist \(x = 2\) ebenfalls nicht im Definitionsbereich. Zusammengefasst ist der Definitionsbereich der Funktion, die aus diesen Brüchen besteht, alle reellen Zahlen außer \(x = -3\) und \(x = 2\). In Intervallnotation wird der Definitionsbereich wie folgt angegeben: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\} \]

Um den Definitionsbereich des Bruchs \( \frac1}{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} - 25} \) zu bestimmen, müssen wir sicherstellen, dass der Nenner nicht gleich null ist. Zuerst vereinfachen wir den Nenner: \[ 1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} - 25 = 1 - 25 = -24 \] Der Nenner ist also konstant und gleich \(-24\), was niemals null wird.Da der Nenner nicht null ist, müssen wir nur darauf achten, dass \(x^2\) nicht null wird, da dies zu einer Division durch null führen würde. Das bedeutet, dass \(x\) nicht gleich null sein darf. Somit ist der Definitionsbereich: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] Das bedeutet, dass \(x\) alle reellen Zahlen annehmen kann, außer null.

Die Funktion \( f(x) = \frac{3}{2}x + 3 \) ist eine lineare Funktion. **Definitionsbereich:** Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, also \( D = \mathbb{R} \). **Wertebereich:** Der Wertebereich umfasst ebenfalls alle reellen Zahlen, da eine lineare Funktion für jeden Wert von \( x \) einen entsprechenden Wert von \( f(x) \) annimmt. Somit ist der Wertebereich \( W = \mathbb{R} \). Zusammengefasst: - Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \) - Wertebereich: \( W = \mathbb{R} \)