1 Frage zu Hebbarkeit

Um den maximalen Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^4 - 5x^2 + 4} \) zu bestimmen, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden, da die Funktion nur dort definiert ist, wo der Nenner nicht null ist. 1. **Bestimmung der Nullstellen des Nenners:** Der Nenner ist \( x^4 - 5x^2 + 4 \). Um die Nullstellen zu finden, setzen wir den Nenner gleich null: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Wir setzen \( y = x^2 \), dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich die Lösungen: \[ y_1 = 4 \quad \text{und} \quad y_2 = 1 \] Da \( y = x^2 \), erhalten wir: \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Somit sind die Nullstellen des Nenners \( x = -2, -1, 1, 2 \). 2. **Maximaler Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich der Funktion ist also: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] 3. **Untersuchung der Definitionslücken auf Hebbarkeit:** Eine Definitionslücke ist hebbar, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls null ist. Wir prüfen die Nullstellen des Zählers \( x^2 - 5x + 4 \): \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Diese Gleichung hat die Lösungen: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich: \[ x_1 = 4 \quad \text{und} \quad x_2 = 1 \] Da \( x = 1 \) eine Nullstelle des Zählers ist und auch eine Nullstelle des Nenners, ist die Lücke bei \( x = 1 \) hebbar. Für \( x = -2 \) und \( x = -1 \) sowie \( x = 2 \) ist der Zähler nicht null, daher sind diese Lücken nicht hebbar. Zusammenfassend ist der maximale Definitionsbereich: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] Die Lücke bei \( x = 1 \) ist hebbar, während die Lücken bei \( x = -2, -1, 2 \) nicht hebbar sind.