80 Fragen zu Nullstellen

Bei einer linearen Funktion der Form \( f(x) = mx + b \) gibt es maximal eine Nullstelle. Diese Nullstelle liegt dort, wo \( f(x) = 0 \), also bei \( x = -\frac{b}{m} \), vorausgesetzt \( m \neq 0 \). Bei einer Parabel, also einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \), gibt es maximal zwei Nullstellen. Die Anzahl der Nullstellen hängt von der Diskriminante \( \Delta = b^2 - 4ac \) ab: - Wenn \( \Delta > 0 \), gibt es zwei verschiedene Nullstellen. - Wenn \( \Delta = 0 \), gibt es eine doppelte Nullstelle. - Wenn \( \Delta < 0 \), gibt es keine reellen Nullstellen. Die Diskriminante ist also die entscheidende Angabe, um die maximale Anzahl der Nullstellen einer Parabel zu ermitteln.

Die Nullstellen der Sinusfunktion \( \sin(x) \) sind die Werte von \( x \), bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Diese Nullstellen liegen bei: \[ x = n\pi \] wobei \( n \) eine ganze Zahl ist (d.h. \( n \in \mathbb{Z} \)). Das bedeutet, die Nullstellen der Sinusfunktion sind bei \( x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \ldots \).

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Wenn die Funktion zwei Nullstellen hat, bedeutet das, dass es zwei Werte \( x_1 \) und \( x_2 \) gibt, für die \( f(x) = 0 \). Da eine Funktion dritten Grades bis zu drei Nullstellen haben kann, könnte die dritte Nullstelle entweder mit einer der beiden anderen Nullstellen zusammenfallen (doppelte Nullstelle) oder es gibt eine dritte Nullstelle \( x_3 \). Ein möglicher Funktionsterm für \( f(x) \) mit zwei Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) könnte daher wie folgt aussehen: \[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \] Um es konkret zu machen, nehmen wir an, die Nullstellen sind \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -2 \), und die dritte Nullstelle ist ebenfalls \( x_1 = 1 \) (doppelte Nullstelle). Dann könnte der Funktionsterm lauten: \[ f(x) = a(x - 1)^2(x + 2) \] Setzt man \( a = 1 \) (für Einfachheit), erhält man: \[ f(x) = (x - 1)^2(x + 2) \] Dies ist ein möglicher Funktionsterm für eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit zwei Nullstellen.

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades hat die allgemeine Form: \[ f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3) \cdot (x - x_4) \cdot (x - x_5) \] Dabei sind \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) und \( x_5 \) die Nullstellen der Funktion und \( a \) ist ein konstanter Vorfaktor. Wenn die Funktion drei Nullstellen hat, bedeutet das, dass zwei der Nullstellen mehrfach vorkommen müssen, da eine Funktion 5. Grades insgesamt fünf Nullstellen (einschließlich ihrer Vielfachheit) haben muss. Ein möglicher Funktionsterm könnte daher wie folgt aussehen: \[ f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3)^3 \] Hierbei sind \( x_1, x_2 \) und \( x_3 \) die drei Nullstellen, wobei \( x_3 \) eine dreifache Nullstelle ist. Ein konkretes Beispiel wäre: \[ f(x) = 1 \cdot (x - 1) \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)^3 \] Das ergibt: \[ f(x) = (x - 1) \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)^3 \] Dies ist ein möglicher Funktionsterm für eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit drei Nullstellen.

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ohne Nullstellen könnte beispielsweise die Form \( f(x) = x^4 + 1 \) haben. Diese Funktion hat keine Nullstellen, da der Ausdruck \( x^4 \) für alle reellen Zahlen \( x \) immer nicht-negativ ist und durch das Hinzufügen von 1 immer positiv wird.

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit zwei doppelten Nullstellen kann in der Form \( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2)^2 \) geschrieben werden, wobei \( x_1 \) und \( x_2 \) die Nullstellen sind und \( a \) eine Konstante ist. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist: \[ f(x) = (x - 1)^2(x + 2)^2 \] Hier sind die Nullstellen \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -2 \), beide mit der Vielfachheit 2.

Die Funktion \( g(x) = x^2 - 3 \) hat zwei Nullstellen. Diese Nullstellen können durch Lösen der Gleichung \( x^2 - 3 = 0 \) gefunden werden: \[ x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \pm \sqrt{3} \] Die Nullstellen sind also \( x = \sqrt{3} \) und \( x = -\sqrt{3} \).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 5)(x - \frac{2}{3})(x + 0,5) \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null und löst die Gleichung: \[ (x - 5)(x - \frac{2}{3})(x + 0,5) = 0 \] Eine Produktgleichung ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Daher setzt man jeden Faktor einzeln gleich null: 1. \( x - 5 = 0 \) 2. \( x - \frac{2}{3} = 0 \) 3. \( x + 0,5 = 0 \) Löst man diese Gleichungen, erhält man die Nullstellen: 1. \( x = 5 \) 2. \( x = \frac{2}{3} \) 3. \( x = -0,5 \) Die Nullstellen der Funktion sind also \( x = 5 \), \( x = \frac{2}{3} \) und \( x = -0,5 \).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x + 4x - \frac{1}{2}x \) zu bestimmen, müssen die Werte von \( x \) gefunden werden, für die \( f(x) = 0 \) gilt. Zunächst wird die Funktion vereinfacht: \[ f(x) = x + 4x - \frac{1}{2}x \] Kombiniere die Terme: \[ f(x) = \left(1 + 4 - \frac{1}{2}\right)x \] \[ f(x) = \left(\frac{2}{2} + \frac{8}{2} - \frac{1}{2}\right)x \] \[ f(x) = \left(\frac{9}{2}\right)x \] Die Funktion vereinfacht sich zu: \[ f(x) = \frac{9}{2}x \] Setze \( f(x) = 0 \): \[ \frac{9}{2}x = 0 \] Teile beide Seiten durch \(\frac{9}{2}\): \[ x = 0 \] Die Nullstelle der Funktion ist also: \[ x = 0 \]

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = 6,4x^2 - 0,4x^4 \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null und löst die Gleichung: \[ 6,4x^2 - 0,4x^4 = 0 \] Faktorisieren der Gleichung: \[ 0,4x^2 (16 - x^2) = 0 \] Setze jeden Faktor gleich null: 1. \( 0,4x^2 = 0 \) 2. \( 16 - x^2 = 0 \) Für den ersten Faktor: \[ 0,4x^2 = 0 \] \[ x^2 = 0 \] \[ x = 0 \] Für den zweiten Faktor: \[ 16 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = \pm 4 \] Die Nullstellen der Funktion sind also: \[ x = 0, \, x = 4, \, x = -4 \]

Eine quadratische Funktion kann in der Form \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \) geschrieben werden, wobei \( x_1 \) und \( x_2 \) die Nullstellen sind. In diesem Fall sind die Nullstellen \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -2 \). Setze diese Werte in die Gleichung ein: \[ f(x) = a(x - 1)(x + 2) \] Da die Parabel die y-Achse bei \( y_0 = 2 \) schneidet, bedeutet das, dass \( f(0) = 2 \) gilt. Setze \( x = 0 \) in die Gleichung ein und löse nach \( a \) auf: \[ f(0) = a(0 - 1)(0 + 2) = 2 \] \[ a(-1)(2) = 2 \] \[ -2 = 2 \] \[ a = -1 \] Setze \( a \) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ f(x) = -1(x - 1)(x + 2) \] Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = -1(x^2 + 2x - x - 2) \] \[ f(x) = -1(x^2 + x - 2) \] \[ f(x) = -x^2 - x + 2 \] Die Gleichung der Parabel lautet: \[ f(x) = -x^2 - x + 2 \]

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -3x^2 + 18x - 15 \) zu finden, muss die Gleichung \( -3x^2 + 18x - 15 = 0 \) gelöst werden. Dies kann mit der Mitternachtsformelauch bekannt als die quadratische Lösungsformel) gemacht werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Für die gegebene Funktion sind die Koeffizienten: \[ a = -3 \] \[ b = 18 \] \[ c = -15 \] Setze diese Werte in die Formel ein: \[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4(-3)(-15)}}{2(-3)} \] Berechne die Diskriminante: \[ 18^2 - 4(-3)(-15) = 324 - 180 = 144 \] Setze die Diskriminante in die Formel ein: \[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{144}}{2(-3)} \] \[ x = \frac{-18 \pm 12}{-6} \] Dies ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{-18 + 12}{-6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-18 - 12}{-6} = 5 \] Die Nullstellen der Funktion sind also \( x = 1 \) und \( x = 5 \).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = \frac{x - 1}{x^4 + 6x^3} \) zu bestimmen, muss der Zähler gleich null gesetzt werden, da der Bruch nur dann null wird, wenn der Zähler null ist und der Nenner nicht null ist. Der Zähler der Funktion ist \( x - 1 \). Setze den Zähler gleich null: \[ x - 1 = 0 \] Löse diese Gleichung nach \( x \) auf: \[ x = 1 \] Nun muss überprüft werden, ob der Nenner bei \( x = 1 \) nicht null ist. Der Nenner der Funktion ist \( x^4 + 6x^3 \). Setze \( x = 1 \) in den Nenner ein: \[ 1^4 + 6 \cdot 1^3 = 1 + 6 = 7 \] Da der Nenner bei \( x = 1 \) nicht null ist, ist \( x = 1 \) tatsächlich eine Nullstelle der Funktion. Die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{x - 1}{x^4 + 6x^3} \) ist also: \[ x = 1 \]

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = \frac{x+1}{x^3 - 3x} \) zu bestimmen, müssen die Nullstellen des Zählers und die Nullstellen des Nenners betrachtet werden. 1. **Nullstellen des Zählers:** Der Zähler ist \( x + 1 \). Setze \( x + 1 = 0 \): \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] Also hat der Zähler eine Nullstelle bei \( x = -1 \). 2. **Nullstellen des Nenners:** Der Nenner ist \( x^3 - 3x \). Setze \( x^3 - 3x = 0 \): \[ x(x^2 - 3) = 0 \] Dies ergibt zwei Faktoren: \[ x = 0 \quad \text{oder} \quad x^2 - 3 = 0 \] Für \( x^2 - 3 = 0 \): \[ x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \] Also hat der Nenner Nullstellen bei \( x = 0 \), \( x = \sqrt{3} \) und \( x = -\sqrt{3} \). 3. **Bestimmung der Nullstellen der Funktion:** Eine Funktion hat Nullstellen, wenn der Zähler null ist und der Nenner nicht null ist. Die Nullstelle des Zählers ist \( x = -1 \). Prüfe, ob der Nenner bei \( x = -1 \) null ist: \[ (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \neq 0 \] Da der Nenner bei \( x = -1 \) nicht null ist, ist \( x = -1 \) eine Nullstelle der Funktion. Zusammengefasst hat die Funktion \( f(x) = \frac{x+1}{x^3 - 3x} \) eine Nullstelle bei \( x = -1 \).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -6x^3 + x + 3x \) zu bestimmen, müssen die Werte von \( x \) gefunden werden, für die \( f(x) = 0 \) gilt. Zunächst wird die Funktion vereinfacht: \[ f(x) = -6x^3 + x + 3x \] \[ f(x) = -6x^3 + 4x \] Setze \( f(x) = 0 \): \[ -6x^3 + 4x = 0 \] Faktorisieren der Gleichung: \[ x(-6x^2 + 4) = 0 \] Dies ergibt zwei Faktoren, die jeweils gleich Null gesetzt werden können: 1. \( x = 0 \) 2. \( -6x^2 + 4 = 0 \) Löse die zweite Gleichung: \[ -6x^2 + 4 = 0 \] \[ -6x^2 = -4 \] \[ x^2 = \frac{4}{6} \] \[ x^2 = \frac{2}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \] \[ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] Die Nullstellen der Funktion sind daher: \[ x = 0, \quad x = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad x = -\frac{\sqrt{6}}{3} \]