Was sind die Nullstellen von f(x) = – 3x² + 18x – 15?

Question

Was sind die Nullstellen von f(x) = – 3x² + 18x – 15?

Antwort

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Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -3x^2 + 18x - 15 \) zu finden, muss die Gleichung \( -3x^2 + 18x - 15 = 0 \) gelöst werden. Dies kann mit der Mitternachtsformelauch bekannt als die quadratische Lösungsformel) gemacht werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Für die gegebene Funktion sind die Koeffizienten: \[ a = -3 \] \[ b = 18 \] \[ c = -15 \] Setze diese Werte in die Formel ein: \[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4(-3)(-15)}}{2(-3)} \] Berechne die Diskriminante: \[ 18^2 - 4(-3)(-15) = 324 - 180 = 144 \] Setze die Diskriminante in die Formel ein: \[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{144}}{2(-3)} \] \[ x = \frac{-18 \pm 12}{-6} \] Dies ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{-18 + 12}{-6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-18 - 12}{-6} = 5 \] Die Nullstellen der Funktion sind also \( x = 1 \) und \( x = 5 \).

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

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Die Diskriminante \( D \) einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) wird mit der Formel \( D = b^2 - 4ac \) berechnet. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Anzahl und A... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante \( D \) einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) wird mit der Formel \( D = b^2 - 4ac \) berechnet. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \( D > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \( D = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \( D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \(x^2 + ax + b = 0\) wird mit der Formel \(D = a^2 - 4b\) berechnet. Hierbei ist \(D\) die Diskriminante, \(a\) der Koeffizient von \(x\) und \... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \(x^2 + ax + b = 0\) wird mit der Formel \(D = a^2 - 4b\) berechnet. Hierbei ist \(D\) die Diskriminante, \(a\) der Koeffizient von \(x\) und \(b\) der konstante Term. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \(D > 0\), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \(D = 0\), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \(D < 0\), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.

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Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

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Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lö... [mehr]

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lösen ist, ohne dass sich die Lösungen ändern. Hier sind die wichtigsten Regeln: 1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiel: \( x + 3 = 7 \) \(\rightarrow x + 3 - 3 = 7 - 3 \) \(\rightarrow x = 4 \) 2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen. Beispiel: \( 2x = 8 \) \(\rightarrow \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \) \(\rightarrow x = 4 \) 3. **Klammern auflösen**: Klammern können mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden. Beispiel: \( 2(x + 3) = 8 \) \(\rightarrow 2x + 6 = 8 \) 4. **Zusammenfassen von Termen**: Gleiche Terme auf einer Seite zusammenfassen. Beispiel: \( x + x = 6 \) \(\rightarrow 2x = 6 \) 5. **Unbekannte auf eine Seite bringen**: Alle Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Beispiel: \( x + 2 = 3x - 4 \) \(\rightarrow x - 3x = -4 - 2 \) \(\rightarrow -2x = -6 \) **Wichtig:** Bei Ungleichungen (>, <, ≥, ≤) musst du beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen. **Zusammengefasst:** Bei jeder Umformung musst du die Gleichung so behandeln, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Das erreichst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation ausführst. Weitere Infos findest du z.B. bei [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/aequivalenzumformungen).

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach... [mehr]

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach \( x \) umstellen: \( -2x + 6 = 0 \) \( -2x = -6 \) \( x = \frac{-6}{-2} \) \( x = 3 \) **2. Probe:** Setze \( x = 3 \) in die Ausgangsgleichung ein: \( 3 \cdot 3 + 7 - 5 \cdot 3 - 1 = ? \) \( 9 + 7 - 15 - 1 = ? \) \( 16 - 15 - 1 = ? \) \( 1 - 1 = 0 \) **Ergebnis:** Die Lösung ist \( x = 3 \). Die Probe stimmt.

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung... [mehr]

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung genau die gleichen Lösungen haben. Äquivalenzumformungen werden häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet, zum Beispiel durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null bei Division), oder durch Anwenden gleicher Operationen auf beiden Seiten. Ziel ist es, die Gleichung schrittweise zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

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Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten und wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde 1859 von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert und besch&a... [mehr]

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Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten und wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde 1859 von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert und beschäftigt sich mit den sogenannten Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Die Riemannsche Zetafunktion ist eine spezielle mathematische Funktion, die für komplexe Zahlen definiert ist. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, insbesondere im Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen. Die Vermutung besagt: **Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion haben den Realteil 1/2.** Das heißt: Wenn man die Gleichung ζ(s) = 0 betrachtet (wobei ζ die Zetafunktion ist und s eine komplexe Zahl), dann liegen alle nicht-trivialen Lösungen (also die Nullstellen, die nicht bei negativen geraden Zahlen liegen) auf der sogenannten "kritischen Geraden" im komplexen Zahlenraum, nämlich dort, wo der Realteil von s gleich 1/2 ist. Die Riemannsche Vermutung ist eines der sieben "Millennium-Probleme" des Clay Mathematics Institute, für deren Lösung jeweils ein Preis von einer Million US-Dollar ausgelobt wurde. Weitere Informationen findest du zum Beispiel auf der [Wikipedia-Seite zur Riemannschen Vermutung](https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung).

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

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Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische... [mehr]

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Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische Formel**: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 2. **Zweite binomische Formel**: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 3. **Dritte binomische Formel**: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) Diese Formeln sind nützlich für das Vereinfachen von Ausdrücken und das Lösen von Gleichungen.

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