13 Fragen zu Funktionsterm

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit zwei doppelten Nullstellen kann in der Form \( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2)^2 \) geschrieben werden, wobei \( x_1 \) und \( x_2 \) die Nullstellen sind und \( a \) eine Konstante ist. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist: \[ f(x) = (x - 1)^2(x + 2)^2 \] Hier sind die Nullstellen \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -2 \), beide mit der Vielfachheit 2.

Der Infektionsstart erfolgt mit 1 Person. Jede weitere Stunde werden 3 zusätzliche Personen infiziert. Die Anzahl der infizierten Personen nach \( x \) Stunden kann durch die folgende Funktion beschrieben werden: \[ N(x) = 1 + 3x \] Hierbei ist \( N(x) \) die Anzahl der infizierten Personen nach \( x \) Stunden. - Bei \( x = 0 \) (zu Beginn) ist \( N(0) = 1 + 3 \cdot 0 = 1 \). - Nach 1 Stunde (\( x = 1 \)) sind es \( N(1) = 1 + 3 \cdot 1 = 4 \). - Nach 2 Stunden (\( x = 2 \)) sind es \( N(2) = 1 + 3 \cdot 2 = 7 \). So kannst du die Anzahl der Infizierten für jede beliebige Stunde \( x \) berechnen.

Der Infektionsstart erfolgt mit 1 Person. Jede weitere Stunde werden3 zusätzliche Personen infiziert. Anzahl der infizierten Personen nach \( x \) Stunden kann durch die folgende Funktion beschrieben werden: \[ N(x) = 1 + 3x\] Hierbei ist \( N(x) \) die Gesamtanzahl der infizierten Personen nach \( x \) Stunden. - Bei \( x = 0 \) (zu Beginn) ist \( N(0) = 1 + 3 \cdot 0 = 1 \). - Nach 1 Stunde (\( x = 1 \)) sind es \( N(1) = 1 + 3 \cdot 1 = 4 \). - Nach 2 Stunden (\( x = 2 \)) sind es \( N(2) = 1 + 3 \cdot 2 = 7 \). Die Funktion zeigt, dass die Anzahl der Infizierten linear mit der Zeit ansteigt.

Symmetrieverhalten und Funktionsterm stehen in einem engen Zusammenhang, insbesondere in der Mathematik und Physik. Hier sind einige wichtige Punkte, die diesen Zusammenhang verdeutlichen: 1. **Achsensymmetrie**: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) = f(-x) für alle x gilt. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f(x) = x². Diese Symmetrie beeinflusst den Graphen der Funktion, der auf beiden Seiten der y-Achse identisch aussieht. 2. **Punktsymmetrie**: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x³. Diese Symmetrie führt dazu, dass der Graph der Funktion bei einer Drehung um 180 Grad um den Ursprung unverändert bleibt. 3. **Periodizität**: Funktionen wie Sinus und Kosinus zeigen eine regelmäßige Symmetrie, die sich in ihrem periodischen Verhalten äußert. Hier ist f(x + T) = f(x) für eine Periode T, was bedeutet, dass sich der Funktionswert in gleichen Abständen wiederholt. 4. **Symmetrie und Ableitungen**: Das Symmetrieverhalten einer Funktion kann auch durch ihre Ableitungen untersucht werden. Wenn eine Funktion an einem Punkt eine horizontale Tangente hat (f'(x) = 0), kann dies auf Symmetrie hinweisen. 5. **Transformationen**: Symmetrieverhalten kann auch durch Transformationen wie Spiegelungen oder Drehungen analysiert werden. Diese Transformationen können den Funktionsterm beeinflussen und umgekehrt. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Symmetrieverhalten einer Funktion oft direkt aus ihrem Funktionsterm abgeleitet werden kann und umgekehrt. Die Analyse dieser Zusammenhänge ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik, um das Verhalten von Funktionen zu verstehen.

Um den Funktionsterm für \( f + g \) zu bestimmen, addierst du die beiden Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Gegeben sind: \[ f(x) = \frac{2x - 1}{3} \] \[ g(x) = \frac{3 - 2x}{9} \] Zuerst bringen wir die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner von 3 und 9 ist 9. Schreibe \( f(x) \) um: \[ f(x) = \frac{2x - 1}{3} = \frac{3(2x - 1)}{9} = \frac{6x - 3}{9} \] Jetzt addierst du \( f(x) \) und \( g(x) \): \[ f(x) + g(x) = \frac{6x - 3}{9} + \frac{3 - 2x}{9} \] Da beide Brüche denselben Nenner haben, kannst du die Zähler addieren: \[ f(x) + g(x) = \frac{(6x - 3) + (3 - 2x)}{9} \] Vereinfache den Zähler: \[ 6x - 3 + 3 - 2x = 6x - 2x - 3 + 3 = 4x \] Somit ergibt sich: \[ f(x) + g(x) = \frac{4x}{9} \] Der vereinfachte Funktionsterm für \( f + g \) ist also: \[ f + g = \frac{4x}{9} \]

Um den Funktionsterm einer Geraden zu finden, die parallel zu einer gegebenen Geraden ist und durch den Ursprung verläuft, müssen wir zunächst den Funktionsterm der gegebenen Geraden umformen. Die gegebene Gerade hat den Funktionsterm \(4y - 8x = 0\). Um diesen in die Form \(y = mx + b\) zu bringen, lösen wir nach \(y\) auf: \[ 4y = 8x \implies y = 2x \] Der Steigungsfaktor \(m\) dieser Geraden ist 2. Da parallele Geraden denselben Steigungsfaktor haben, wird die gesuchte Gerade ebenfalls die Steigung 2 haben. Da die gesuchte Gerade durch den Ursprung verläuft, ist der y-Achsenabschnitt \(b = 0\). Der Funktionsterm der gesuchten Geraden lautet daher: \[ y = 2x \] Die Frage bezieht sich jedoch auf den Funktionsterm in der Form \(8x\). Um dies zu klären: Der Funktionsterm \(8x\) beschreibt eine Gerade mit der Steigung 8, was nicht parallel zu der ursprünglichen Geraden ist. Der korrekte Funktionsterm für die parallele Gerade, die durch den Ursprung verläuft, ist also \(y = 2x\).

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entweder das Minimum oder Maximum der Parabel, je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. 2. **Öffnungsrichtung**: Bestimme, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. Dies kannst du erkennen, indem du schaust, ob die Arme der Parabel nach oben oder unten zeigen. 3. **Steigung und Breite**: Achte auf die Breite der Parabel. Eine schmalere Parabel hat einen größeren Betrag von a (z.B. |a| > 1), während eine breitere Parabel einen kleineren Betrag von a hat (z.B. |a| < 1). 4. **Funktionsform**: Der allgemeine Funktionsterm einer Parabel ist in der Form \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist. Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Gleichung ein. 5. **Weitere Punkte**: Wenn möglich, bestimme weitere Punkte auf der Parabel, um den Wert von a genauer zu bestimmen. Setze diese Punkte in die Gleichung ein, um a zu berechnen. Durch diese Schritte kannst du den Funktionsterm der Parabel aus ihrem Graphen ableiten.

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ohne Nullstellen könnte beispielsweise die Form \( f(x) = x^4 + 1 \) haben. Diese Funktion hat keine Nullstellen, da der Ausdruck \( x^4 \) für alle reellen Zahlen \( x \) immer nicht-negativ ist und durch das Hinzufügen von 1 immer positiv wird.

Die Funktionsgleichung beschreibt die Beziehung zwischen den Variablen einer Funktion, während der Funktionsterm die mathematische Darstellung dieser Beziehung ist. Eine Funktionsgleichung hat oft die Form \( y = f(x) \), wobei \( f(x) \) der Funktionsterm ist. Zum Beispiel, in der Gleichung \( y = 2x + 3 \) ist \( 2x + 3 \) der Funktionsterm, der angibt, wie \( y \) in Abhängigkeit von \( x \) berechnet wird. Zusammengefasst: Die Funktionsgleichung zeigt die Beziehung, und der Funktionsterm ist die konkrete mathematische Formel, die diese Beziehung beschreibt.

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Wenn die Funktion zwei Nullstellen hat, bedeutet das, dass es zwei Werte \( x_1 \) und \( x_2 \) gibt, für die \( f(x) = 0 \). Da eine Funktion dritten Grades bis zu drei Nullstellen haben kann, könnte die dritte Nullstelle entweder mit einer der beiden anderen Nullstellen zusammenfallen (doppelte Nullstelle) oder es gibt eine dritte Nullstelle \( x_3 \). Ein möglicher Funktionsterm für \( f(x) \) mit zwei Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) könnte daher wie folgt aussehen: \[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \] Um es konkret zu machen, nehmen wir an, die Nullstellen sind \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -2 \), und die dritte Nullstelle ist ebenfalls \( x_1 = 1 \) (doppelte Nullstelle). Dann könnte der Funktionsterm lauten: \[ f(x) = a(x - 1)^2(x + 2) \] Setzt man \( a = 1 \) (für Einfachheit), erhält man: \[ f(x) = (x - 1)^2(x + 2) \] Dies ist ein möglicher Funktionsterm für eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit zwei Nullstellen.

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades hat die allgemeine Form: \[ f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3) \cdot (x - x_4) \cdot (x - x_5) \] Dabei sind \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) und \( x_5 \) die Nullstellen der Funktion und \( a \) ist ein konstanter Vorfaktor. Wenn die Funktion drei Nullstellen hat, bedeutet das, dass zwei der Nullstellen mehrfach vorkommen müssen, da eine Funktion 5. Grades insgesamt fünf Nullstellen (einschließlich ihrer Vielfachheit) haben muss. Ein möglicher Funktionsterm könnte daher wie folgt aussehen: \[ f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3)^3 \] Hierbei sind \( x_1, x_2 \) und \( x_3 \) die drei Nullstellen, wobei \( x_3 \) eine dreifache Nullstelle ist. Ein konkretes Beispiel wäre: \[ f(x) = 1 \cdot (x - 1) \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)^3 \] Das ergibt: \[ f(x) = (x - 1) \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)^3 \] Dies ist ein möglicher Funktionsterm für eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit drei Nullstellen.

Eine gebrochen-rationale Funktion \( f(x) \) mit den gewünschten Eigenschaften kann wie folgt konstruiert werden: Die Nullstellen 2 und -2 bedeuten, dass der Zähler der Funktion die Faktoren \( (x - 2) \) und \( (x + 2) \) enthalten muss. Die Definitionslücken 4 und -4 bedeuten, dass der Nenner der Funktion die Faktoren \( (x - 4) \) und \( (x + 4) \) enthalten muss. Somit kann der Funktionsterm wie folgt formuliert werden: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 4)(x + 4)} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 16} \] Hierbei hat die Funktion die Nullstellen bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) sowie die Definitionslücken bei \( x = 4 \) und \( x = -4 \).

Um die Funktionsgleichung einer Geraden zu finden, die parallel zu einer gegebenen Geraden ist und durch den Ursprung verläuft, musst du zunächst die Steigung der gegebenen Geraden bestimmen. Die gegebene Gleichung ist: \[ 4y - 8x = 0 \] Um die Steigung zu finden, kannst du die Gleichung in die Form \( y = mx + b \) umstellen: \[ 4y = 8x \] \[ y = 2x \] Die Steigung \( m \) der gegebenen Geraden ist also 2. Da die gesuchte Gerade parallel dazu verläuft, hat sie ebenfalls die Steigung 2. Da die Gerade durch den Ursprung (0,0) verläuft, ist der y-Achsenabschnitt \( b = 0 \). Die Funktionsgleichung der gesuchten Geraden lautet daher: \[ y = 2x \]