3 Fragen zu Definitionsluecke

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu bestimmen, gehst du wie folgt vor: 1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Finde die Werte von \( x \), für die die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners in gebrochenen Funktionen oder durch andere Einschränkungen wie Wurzeln von negativen Zahlen in reellen Funktionen entstehen. 2. **Untersuche das Verhalten in der Nähe der Definitionslücken**: - **Grenzwerte berechnen**: Bestimme die Grenzwerte der Funktion, wenn \( x \) sich den Definitionslücken von links (\( x \to a^- \)) und von rechts (\( x \to a^+ \)) nähert. Dies hilft zu verstehen, ob die Funktion gegen unendlich geht, gegen einen bestimmten Wert konvergiert oder oszilliert. - **Einseitige Grenzwerte**: Berechne die einseitigen Grenzwerte, um zu sehen, ob die Funktion unterschiedliche Werte annimmt, wenn sie sich der Definitionslücke von verschiedenen Seiten nähert. 3. **Typ der Definitionslücke bestimmen**: - **Hebbare Lücke**: Wenn der Grenzwert existiert und endlich ist, aber die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist, handelt es sich um eine hebbare Lücke. - **Polstelle**: Wenn der Grenzwert unendlich ist (die Funktion geht gegen unendlich), handelt es sich um eine Polstelle. - **Sprungstelle**: Wenn die einseitigen Grenzwerte existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle. 4. **Verhalten grafisch darstellen**: Zeichne den Graphen der Funktion in der Nähe der Definitionslücken, um das Verhalten visuell zu überprüfen. Ein Beispiel: Betrachte die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x-2} \). - **Definitionslücke**: \( x = 2 \) (da der Nenner null wird). - **Grenzwerte**: - \( \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty \) - \( \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty \) - **Typ der Definitionslücke**: Polstelle, da die Grenzwerte unendlich sind. Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch bestimmen.

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu berechnen, gehst du wie folgt vor: 1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Bestimme die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners bei gebrochen-rationalen Funktionen oder durch andere Unstetigkeiten entstehen. 2. **Grenzwerte untersuchen**: Berechne die Grenzwerte der Funktion, wenn du dich den Definitionslücken von links und von rechts näherst. Das bedeutet, du betrachtest die einseitigen Grenzwerte \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) und \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), wobei \(a\) die Stelle der Definitionslücke ist. 3. **Verhalten analysieren**: Untersuche, ob die Grenzwerte endlich oder unendlich sind. Dies gibt dir Aufschluss darüber, ob die Funktion in der Nähe der Definitionslücke gegen einen bestimmten Wert strebt oder ob sie asymptotisch gegen unendlich geht. 4. **Typ der Definitionslücke bestimmen**: Basierend auf den Grenzwerten kannst du den Typ der Definitionslücke bestimmen: - **Hebbare Lücke**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich sind, kann die Lücke durch eine geeignete Definition der Funktion an dieser Stelle "behoben" werden. - **Polstelle**: Wenn die Grenzwerte unendlich sind (positiv oder negativ), handelt es sich um eine Polstelle. - **Sprungstelle**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle. Ein Beispiel: Betrachte die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). 1. **Definitionslücke**: Die Funktion ist nicht definiert bei \(x = 2\). 2. **Grenzwerte untersuchen**: - \(\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty\) - \(\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty\) 3. **Verhalten analysieren**: Die Funktion strebt gegen \(-\infty\), wenn man sich von links \(x = 2\) nähert, und gegen \(\infty\), wenn man sich von rechts \(x = 2\) nähert. 4. **Typ der Definitionslücke**: Dies ist eine Polstelle. Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch analysieren.

Eine gebrochen-rationale Funktion \( f(x) \) mit den gewünschten Eigenschaften kann wie folgt konstruiert werden: Die Nullstellen 2 und -2 bedeuten, dass der Zähler der Funktion die Faktoren \( (x - 2) \) und \( (x + 2) \) enthalten muss. Die Definitionslücken 4 und -4 bedeuten, dass der Nenner der Funktion die Faktoren \( (x - 4) \) und \( (x + 4) \) enthalten muss. Somit kann der Funktionsterm wie folgt formuliert werden: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 4)(x + 4)} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 16} \] Hierbei hat die Funktion die Nullstellen bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) sowie die Definitionslücken bei \( x = 4 \) und \( x = -4 \).