Wie berechnet man das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen aller Definitionslücken?

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu berechnen, gehst du wie folgt vor:

1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Bestimme die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners bei gebrochen-rationalen Funktionen oder durch andere Unstetigkeiten entstehen.

2. **Grenzwerte untersuchen**: Berechne die Grenzwerte der Funktion, wenn du dich den Definitionslücken von links und von rechts näherst. Das bedeutet, du betrachtest die einseitigen Grenzwerte \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) und \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), wobei \(a\) die Stelle der Definitionslücke ist.

3. **Verhalten analysieren**: Untersuche, ob die Grenzwerte endlich oder unendlich sind. Dies gibt dir Aufschluss darüber, ob die Funktion in der Nähe der Definitionslücke gegen einen bestimmten Wert strebt oder ob sie asymptotisch gegen unendlich geht.

4. **Typ der Definitionslücke bestimmen**: Basierend auf den Grenzwerten kannst du den Typ der Definitionslücke bestimmen:
- **Hebbare Lücke**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich sind, kann die Lücke durch eine geeignete Definition der Funktion an dieser Stelle "behoben" werden.
- **Polstelle**: Wenn die Grenzwerte unendlich sind (positiv oder negativ), handelt es sich um eine Polstelle.
- **Sprungstelle**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle.

Ein Beispiel:
Betrachte die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x-2}\).

1. **Definitionslücke**: Die Funktion ist nicht definiert bei \(x = 2\).
2. **Grenzwerte untersuchen**:
- \(\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty\)
- \(\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty\)
3. **Verhalten analysieren**: Die Funktion strebt gegen \(-\infty\), wenn man sich von links \(x = 2\) nähert, und gegen \(\infty\), wenn man sich von rechts \(x = 2\) nähert.
4. **Typ der Definitionslücke**: Dies ist eine Polstelle.

Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch analysieren.