Wie berechnet man das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen aller Definitionslücken?

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Wie berechnet man das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen aller Definitionslücken?

Antwort

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Bestimme die Nullstelle von f(x) = 4 - 7x.

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Berechnung von 208 km/h für 0,8 Sekunden

Was ist die 4. Wurzel von 1/16?

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Wie berechne ich die Nullstelle von ab/(x+b)^2?

Wie überprüft man schnell die Surjektivität einer Funktion?

Was ist die Ableitung von ax/(x+b)?

Accepted Answer

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu berechnen, gehst du wie folgt vor: 1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Bestimme die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners bei gebrochen-rationalen Funktionen oder durch andere Unstetigkeiten entstehen. 2. **Grenzwerte untersuchen**: Berechne die Grenzwerte der Funktion, wenn du dich den Definitionslücken von links und von rechts näherst. Das bedeutet, du betrachtest die einseitigen Grenzwerte \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) und \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), wobei \(a\) die Stelle der Definitionslücke ist. 3. **Verhalten analysieren**: Untersuche, ob die Grenzwerte endlich oder unendlich sind. Dies gibt dir Aufschluss darüber, ob die Funktion in der Nähe der Definitionslücke gegen einen bestimmten Wert strebt oder ob sie asymptotisch gegen unendlich geht. 4. **Typ der Definitionslücke bestimmen**: Basierend auf den Grenzwerten kannst du den Typ der Definitionslücke bestimmen: - **Hebbare Lücke**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich sind, kann die Lücke durch eine geeignete Definition der Funktion an dieser Stelle "behoben" werden. - **Polstelle**: Wenn die Grenzwerte unendlich sind (positiv oder negativ), handelt es sich um eine Polstelle. - **Sprungstelle**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle. Ein Beispiel: Betrachte die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). 1. **Definitionslücke**: Die Funktion ist nicht definiert bei \(x = 2\). 2. **Grenzwerte untersuchen**: - \(\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty\) - \(\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty\) 3. **Verhalten analysieren**: Die Funktion strebt gegen \(-\infty\), wenn man sich von links \(x = 2\) nähert, und gegen \(\infty\), wenn man sich von rechts \(x = 2\) nähert. 4. **Typ der Definitionslücke**: Dies ist eine Polstelle. Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch analysieren.

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 - 7x \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 4 - 7x = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 4 von beiden S... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 - 7x \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 4 - 7x = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 4 von beiden Seiten: \[ -7x = -4 \] 2. Teile beide Seiten durch -7: \[ x = \frac{4}{7} \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = \frac{4}{7} \).

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

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Um die zurückgelegte Strecke bei einer Geschwindigkeit von 208 km/h für 0,8 Sekunden zu berechnen, kannst du die Formel für die Strecke verwenden: \[ \text{Strecke} = \text{Geschwindig... [mehr]

Accepted Answer

Um die zurückgelegte Strecke bei einer Geschwindigkeit von 208 km/h für 0,8 Sekunden zu berechnen, kannst du die Formel für die Strecke verwenden: \[ \text{Strecke} = \text{Geschwindigkeit} \times \text{Zeit} \] Zuerst musst du die Geschwindigkeit von km/h in m/s umrechnen: \[ 208 \, \text{km/h} = \frac{208 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} \approx 57,78 \, \text{m/s} \] Jetzt kannst du die Strecke berechnen: \[ \text{Strecke} = 57,78 \, \text{m/s} \times 0,8 \, \text{s} \approx 46,22 \, \text{m} \] Die zurückgelegte Strecke beträgt also etwa 46,22 Meter.

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Die 4. Wurzel aus \( \frac{1}{16} \) ist \( \frac{1}{2} \). Dies lässt sich so erklären: \[ \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \] Daher ist die 4. Wurzel von \( \frac{1}{16} \) g... [mehr]

Accepted Answer

Die 4. Wurzel aus \( \frac{1}{16} \) ist \( \frac{1}{2} \). Dies lässt sich so erklären: \[ \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \] Daher ist die 4. Wurzel von \( \frac{1}{16} \) gleich \( \frac{1}{2} \).

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

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Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)... [mehr]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Hier ist \( h = 1,5 \) und \( k = -2 \). Der Scheitelpunkt ist also \( (1,5, -2) \). 2. **Öffnung und Breite**: Der Wert von \( a = 0,5 \) zeigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und breiter ist als die Standardparabel \( y = x^2 \). 3. **Achsen und Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur Linie \( x = 1,5 \). 4. **Berechne weitere Punkte**: Wähle einige \( x \)-Werte, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen. Zum Beispiel: - Für \( x = 0 \): \( y = 0,5(0 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 1 \): \( y = 0,5(1 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 2 \): \( y = 0,5(2 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 3 \): \( y = 0,5(3 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 4 \): \( y = 0,5(4 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(6,25) - 2 = 3,125 - 2 = 1,125 \) 5. **Zeichne die Punkte**: Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein. 6. **Verbinde die Punkte**: Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte, um die Parabel darzustellen. 7. **Achsen beschriften**: Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften und den Scheitelpunkt sowie weitere wichtige Punkte zu kennzeichnen. So erhältst du den Graphen der Funktion.

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

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Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn fü... [mehr]

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Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes Element \( b \in B \) mindestens ein Element \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). 2. **Bild der Funktion bestimmen**: Berechne das Bild der Funktion, indem du die Funktionsvorschrift analysierst und die Werte von \( f(x) \) für alle \( x \in A \) untersuchst. 3. **Gegenteil prüfen**: Überprüfe, ob es Elemente in \( B \) gibt, die nicht im Bild von \( f \) liegen. Wenn du ein solches Element findest, ist die Funktion nicht surjektiv. 4. **Spezielle Techniken**: Bei bestimmten Funktionstypen (z.B. linearen Funktionen) kannst du auch algebraische Methoden verwenden, um zu zeigen, dass die Gleichung \( f(x) = b \) für jedes \( b \in B \) eine Lösung hat. 5. **Graphische Methode**: Bei Funktionen, die grafisch dargestellt werden können, kannst du auch die horizontale Linien-Testmethode verwenden: Wenn eine horizontale Linie den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet, ist die Funktion nicht surjektiv. Diese Schritte helfen dir, die Surjektivität einer Funktion effizient zu überprüfen.

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]