Wie sieht eine Differentialgleichung aus und wie löst man sie?

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert.

**Beispiel einer Differentialgleichung:**
\[
\frac{dy}{dx} = 3y
\]
Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung.

**Lösen einer Differentialgleichung:**
Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt.

**Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:**

1. **Trennung der Variablen:**
\[
\frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx
\]

2. **Integration beider Seiten:**
\[
\int \frac{1}{y}dy = \int 3dx
\]
\[
\ln|y| = 3x + C
\]
(C ist die Integrationskonstante.)

3. **Umstellen nach \( y \):**
\[
|y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x}
\]
\[
y(x) = A e^{3x}
\]
(mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.)

**Zusammenfassung:**
- Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion.
- Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt.
- Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs).

Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).