Zeigen Sie, dass F mit F(x) = -e^x eine Stammfunktion von f(x) = 2x * e^(-x²) ist. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse begrenzt.

Um zu zeigen, dass \( F(x) = -e^x \) eine Stammfunktion von \( f(x) = 2x e^{-x^2} \) ist, müssen wir die Ableitung von \( F(x) \) berechnen und zeigen, dass sie gleich \( f(x) \) ist.

1. **Berechnung der Ableitung von \( F(x) \)**:
\[
F(x) = -e^{-x^2}
\]
Um die Ableitung zu finden, verwenden wir die Kettenregel:
\[
F'(x) = -\frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = -e^{-x^2} \cdot (-2x) = 2x e^{-x^2}
\]
Das bedeutet:
\[
F'(x) = f(x)
\]
Somit ist \( F(x) = -e^{-x^2} \) eine Stammfunktion von \( f(x) = 2x e^{-x^2} \).

2. **Bestimmung des Inhalts der Fläche, die der Graph von \( f \) mit der x-Achse einschließt**:
Um den Inhalt der Fläche zu bestimmen, müssen wir das Integral von \( f(x) \) über den Bereich, in dem \( f(x) \) positiv ist, berechnen. Da \( f(x) = 2x e^{-x^2} \) für \( x \geq 0 \) positiv ist und für \( x < 0 \) negativ, betrachten wir das Integral von \( 0 \) bis \( \infty \):
\[
\text{Inhalt} = \int_0^\infty f(x) \, dx = \int_0^\infty 2x e^{-x^2} \, dx
\]

Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die Substitution \( u = -x^2 \), was \( du = -2x \, dx \) ergibt. Die Grenzen ändern sich von \( x = 0 \) (also \( u = 0 \)) bis \( x = \infty \) (also \( u = -\infty \)):
\[
\int_0^\infty 2x e^{-x^2} \, dx = \int_0^{-\infty} e^u (-du) = \int_{-\infty}^0 e^u \, du
\]
Das Integral von \( e^u \) ist:
\[
\left[ e^u \right]_{-\infty}^0 = e^0 - \lim_{u \to -\infty} e^u = 1 - 0 = 1
\]

Daher ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von \( f \) mit der x-Achse einschließt:
\[
\text{Inhalt} = 1
\]