489 Fragen zu Dreieck

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten aller drei Seiten. Die Koordinaten \((x, y)\) des Umkreismittelpunkts für ein Dreieck mit den Eckpunkten \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) und \(C(x_3, y_3)\) berechnest du mit folgender Formel: \[ x = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2) }{ 2 \left[ x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right] } \] \[ y = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1) }{ 2 \left[ x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right] } \] Diese Formeln gelten für beliebige Dreiecke im Koordinatensystem.

Ein gleichseitiges Dreieck ist sowohl achsensymmetrisch als auch drehsymmetrisch. **Achsensymmetrie:** Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Jede dieser Achsen verläuft durch einen Eckpunkt und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. **Drehsymmetrie:** Ein gleichseitiges Dreieck ist auch drehsymmetrisch. Es lässt sich um 120° oder 240° um seinen Mittelpunkt drehen, sodass es wieder auf sich selbst abgebildet wird. **Fazit:** Deine Aussage ist also nicht korrekt. Ein gleichseitiges Dreieck ist sowohl achsensymmetrisch als auch drehsymmetrisch.

Um ein Dreieck mit einem bestimmten Flächeninhalt zu zeichnen, gehst du am einfachsten so vor: **1. Wähle eine Grundseite (Basis) des Dreiecks.** Lege zum Beispiel fest, dass die Basis \( b \) eine bestimmte Länge haben soll (z. B. 6 cm). **2. Berechne die notwendige Höhe.** Die Fläche \( A \) eines Dreiecks berechnet sich mit der Formel: \[ A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] Dabei ist \( h \) die Höhe, die auf die gewählte Basis steht. Stelle die Formel nach \( h \) um: \[ h = \frac{2A}{b} \] **3. Zeichne die Basis.** Zeichne mit dem Lineal die gewählte Basis (z. B. 6 cm) auf ein Blatt Papier. **4. Trage die Höhe ab.** Errichte in der Mitte oder an einem Ende der Basis eine Senkrechte. Miss auf dieser Senkrechten die berechnete Höhe \( h \) ab. **5. Verbinde die Endpunkte.** Verbinde das obere Ende der Höhe mit den beiden Endpunkten der Basis. So entsteht ein Dreieck mit dem gewünschten Flächeninhalt. **Beispiel:** Du möchtest ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \( A = 12\,\text{cm}^2 \) und wählst eine Basis von \( b = 6\,\text{cm} \): Berechne die Höhe: \[ h = \frac{2 \cdot 12}{6} = 4\,\text{cm} \] Zeichne eine 6 cm lange Basis, errichte darauf eine 4 cm hohe Senkrechte, verbinde die Endpunkte – fertig! **Tipp:** Du kannst die Höhe an jedem beliebigen Punkt der Basis antragen, das Dreieck bleibt immer gleich groß im Flächeninhalt. Weitere Informationen zur Dreiecksfläche findest du z. B. bei [Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/dreieck-fl%C3%A4che).

Um den Flächeninhalt (Oberflächeninhalt) eines Dreiecks zu berechnen, gibt es verschiedene Methoden – je nachdem, welche Werte gegeben sind. Die gebräuchlichste Formel ist: **1. Mit Grundseite und Höhe:** \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} \] **2. Mit drei Seitenlängen (Heronsche Formel):** Wenn die Seitenlängen \( a \), \( b \) und \( c \) bekannt sind: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] \[ \text{Fläche} = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)} \] **3. Mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel:** Wenn zwei Seiten (\( a \), \( b \)) und der eingeschlossene Winkel (\( \gamma \)) bekannt sind: \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \] **Beispiel:** - Grundseite \( = 5\,\text{cm} \) - Höhe \( = 3\,\text{cm} \) \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}^2 \] Wähle die passende Formel je nach den gegebenen Werten.

Um eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, wenn du die Hypotenuse (c) und die andere Kathete (a) kennst, verwendest du den Satz des Pythagoras: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Du kennst a und c und suchst b. Stelle die Formel nach b um: \[ b^2 = c^2 - a^2 \] \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \] **Beispiel:** - Hypotenuse \( c = 10 \) - Kathete \( a = 6 \) \[ b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] **Wichtig:** Die Hypotenuse muss immer die längste Seite sein, also muss \( c > a \) gelten.

Um den Umfang eines Dreiecks im Koordinatensystem zu berechnen, gehst du so vor: 1. **Bestimme die Koordinaten der drei Eckpunkte** des Dreiecks, zum Beispiel A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) und C(x₃, y₃). 2. **Berechne die Längen der drei Seiten** mit der Abstandsformel: - AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] - BC = √[(x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²] - CA = √[(x₁ - x₃)² + (y₁ - y₃)²] 3. **Addiere die drei Seitenlängen**: - Umfang = AB + BC + CA So erhältst du den Umfang des Dreiecks.

Natürlich! Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, wenn du die Koordinaten der drei Eckpunkte kennst, gibt es eine einfache Formel: Angenommen, die Eckpunkte des Dreiecks haben die Koordinaten A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) und C(x₃, y₃). Die Fläche berechnest du so: **Fläche = ½ · |(x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂))|** **Leicht erklärt:** 1. Setze die Koordinaten in die Formel ein. 2. Rechne alles in der Klammer aus. 3. Nimm den Betrag (also immer positiv machen). 4. Teile das Ergebnis durch 2. **Beispiel:** A(1, 2), B(4, 5), C(6, 3) Setze ein: Fläche = ½ · |1·(5−3) + 4·(3−2) + 6·(2−5)| = ½ · |1·2 + 4·1 + 6·(−3)| = ½ · |2 + 4 − 18| = ½ · |−12| = ½ · 12 = 6 **Die Fläche ist also 6 Flächeneinheiten.** So kannst du die Fläche eines beliebigen Dreiecks im Koordinatensystem ganz einfach berechnen!

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem zu berechnen, wenn die Eckpunkte die Koordinaten \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) und \( C(x_3, y_3) \) haben, kannst du folgende Formel verwenden: \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] **Beispiel:** Die Punkte sind \( A(1,2) \), \( B(4,5) \), \( C(6,3) \): \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2} \left| 1(5-3) + 4(3-2) + 6(2-5) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot (-3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 2 + 4 - 18 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -12 \right| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \] Der Flächeninhalt beträgt also 6 Flächeneinheiten.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck nur die Hypotenuse und der rechte Winkel gegeben sind, fehlen noch mindestens ein weiterer Wert (eine Kathete oder ein Winkel), um das Dreieck eindeutig zu bestimmen. Mit nur der Hypotenuse und dem rechten Winkel allein kannst du die anderen Seiten und Winkel **nicht** berechnen, da es unendlich viele rechtwinklige Dreiecke mit derselben Hypotenuse, aber unterschiedlichen Kathetenlängen gibt. **Du benötigst mindestens:** - die Länge einer Kathete **oder** - einen der beiden spitzen Winkel **Begründung:** Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Ohne weitere Angaben kannst du die Katheten nicht berechnen, da sie von den spitzen Winkeln abhängen. **Zusammengefasst:** Mit nur der Hypotenuse und dem rechten Winkel ist das Dreieck nicht eindeutig bestimmbar. Es fehlen weitere Angaben.

Gegeben sind: - \( b = 6\,\text{cm} \) - \( c = 10\,\text{cm} \) - \( \alpha = 35^\circ \) Gesucht ist die Seitenlänge \( a \) gegenüber dem Winkel \( \alpha \). Du kannst den **Kosinussatz** verwenden: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \] Einsetzen der Werte: \[ a^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(35^\circ) \] \[ a^2 = 36 + 100 - 120 \cdot \cos(35^\circ) \] \[ a^2 = 136 - 120 \cdot 0{,}8192 \] \[ a^2 = 136 - 98{,}304 \] \[ a^2 = 37{,}696 \] \[ a = \sqrt{37{,}696} \approx 6{,}14\,\text{cm} \] **Antwort:** Die Seitenlänge \( a \) beträgt etwa **6,14 cm**.

Ein Drehstrommotor kann entweder im **Stern (Y)** oder im **Dreieck (Δ)** angeschlossen werden. Die Wahl der Schaltungsart hängt von der **Betriebsspannung** des Motors und der **Netzspannung** ab. **Sternschaltung (Y):** - Wird verwendet, wenn die **Netzspannung** der **Wicklungsspannung** des Motors entspricht. - Typisch beim **Anlauf** von größeren Motoren (Stern-Dreieck-Anlauf), um den Anlaufstrom zu begrenzen. - Beispiel: Ein Motor mit 400/690 V (Δ/Y) wird bei 400 V Netzspannung im **Stern** betrieben, weil dann jede Wicklung nur mit 400 V belastet wird. **Dreieckschaltung (Δ):** - Wird verwendet, wenn die **Netzspannung** der **Strangspannung** des Motors entspricht. - Nach dem Anlauf (bei Stern-Dreieck-Anlauf) wird auf Dreieck umgeschaltet, um die volle Leistung zu erreichen. - Beispiel: Ein Motor mit 400/690 V (Δ/Y) wird bei 400 V Netzspannung im **Dreieck** betrieben, weil dann jede Wicklung mit 400 V belastet wird. **Zusammengefasst:** - **Stern:** Wenn die Netzspannung = höhere Wicklungsspannung (z.B. 690 V) - **Dreieck:** Wenn die Netzspannung = niedrigere Wicklungsspannung (z.B. 400 V) **Praktisches Beispiel:** - Motoren mit Typenschild 400 V/690 V (Δ/Y): - 400 V Netz: **Dreieck** - 690 V Netz: **Stern** Weitere Infos findest du z.B. bei [Wikipedia: Stern-Dreieck-Schaltung](https://de.wikipedia.org/wiki/Stern-Dreieck-Schaltung).

Um Seiten und Winkel in nicht rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, gibt es zwei wichtige Sätze: **1. Sinussatz:** Er wird verwendet, wenn du entweder zwei Winkel und eine Seite (WWS oder SSW) oder zwei Seiten und einen gegenüberliegenden Winkel (SSW) kennst. Formel: \[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \] - \(a, b, c\) sind die Seitenlängen. - \(\alpha, \beta, \gamma\) sind die gegenüberliegenden Winkel. **Beispiel:** Du kennst \(a\), \(\alpha\) und \(\beta\), suchst \(b\): \[ b = a \cdot \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \] --- **2. Kosinussatz:** Er wird verwendet, wenn du entweder alle drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) kennst. Formel: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \] - Um einen Winkel zu berechnen, stelle nach \(\cos(\alpha)\) um: \[ \cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] --- **Merke:** - **Sinussatz**: Wenn du gegenüberliegende Paare (Seite und Winkel) hast. - **Kosinussatz**: Wenn du keine gegenüberliegenden Paare hast oder alle Seiten gegeben sind. **Tipp für die Prüfung:** - Zeichne das Dreieck und trage alle bekannten Werte ein. - Überlege, welcher Satz passt. - Setze die Werte in die passende Formel ein und rechne aus. **Zusatz:** Hier findest du weitere Erklärungen und Beispiele: - [Mathebibel: Sinussatz](https://www.mathebibel.de/sinussatz) - [Mathebibel: Kosinussatz](https://www.mathebibel.de/kosinussatz)

Ein kleines Dreieck in Microsoft Word, das beim Überfahren mit dem Mauszeiger erscheint, ist in der Regel ein sogenanntes „Dropdown“-Symbol oder ein Hinweis auf ein Kontextmenü. Dieses Dreieck zeigt an, dass an dieser Stelle zusätzliche Optionen oder Funktionen verfügbar sind, die du durch einen Klick auf das Dreieck öffnen kannst. Typische Beispiele in Word: - **Formatierungsoptionen:** Nach dem Einfügen von Text, Tabellen oder Bildern erscheint oft ein kleines Dreieck oder ein Symbol daneben. Klickst du darauf, öffnet sich ein Menü mit weiteren Bearbeitungs- oder Formatierungsoptionen. - **AutoKorrektur-Optionen:** Nach einer automatischen Korrektur (z. B. bei der Umwandlung von Anführungszeichen) erscheint manchmal ein kleines blaues Dreieck. Klickst du darauf, kannst du die Korrektur rückgängig machen oder weitere Einstellungen vornehmen. - **Tabellen- oder Listenoptionen:** Bei Tabellen oder Listen kann ein kleines Dreieck erscheinen, das zusätzliche Bearbeitungsoptionen bietet. Das Dreieck ist also ein visueller Hinweis darauf, dass du an dieser Stelle durch einen Klick weitere Einstellungen oder Aktionen aufrufen kannst.

Beim Satz des Pythagoras selbst (a² + b² = c²) kommen die Bezeichnungen **p** und **q** nicht direkt vor. Sie tauchen aber oft im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken und der sogenannten **Katheten- und Höhensatz** auf. **p** und **q** sind dabei die beiden **Streckenabschnitte**, in die die Hypotenuse durch das Lot (die Höhe) vom rechten Winkel aus geteilt wird: - **p**: Der Abschnitt der Hypotenuse, der an der Kathete **a** liegt. - **q**: Der Abschnitt der Hypotenuse, der an der Kathete **b** liegt. **So erkennst du p und q:** 1. Zeichne das rechtwinklige Dreieck und die Höhe h vom rechten Winkel auf die Hypotenuse c. 2. Die Höhe teilt die Hypotenuse c in zwei Abschnitte: **p** und **q**. 3. **p** liegt immer an der Kathete **a**, **q** an der Kathete **b**. **Zusammenhang:** - c = p + q - a² = p · c - b² = q · c **Merke:** p und q sind also keine Seiten des Dreiecks, sondern Abschnitte der Hypotenuse, die durch die Höhe vom rechten Winkel aus entstehen. Weitere Infos findest du z.B. hier: [Kathetensatz und Höhensatz – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/kathetensatz)

Um ein Dreieck mit den Seitenlängen \( a = 6\,\text{cm} \), \( b = 5\,\text{cm} \) und \( c = 4{,}5\,\text{cm} \) zu konstruieren und den Winkel \(\beta\) (also den Winkel an der Ecke B, gegenüber von Seite \(b\)) zu bestimmen, gehst du wie folgt vor: **1. Konstruktion des Dreiecks:** - Zeichne die Seite \( a = 6\,\text{cm} \) als Grundseite. - Markiere die Endpunkte als \( B \) und \( C \). - Um den Punkt \( B \) ziehe einen Kreis mit dem Radius \( c = 4{,}5\,\text{cm} \). - Um den Punkt \( C \) ziehe einen Kreis mit dem Radius \( b = 5\,\text{cm} \). - Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Punkt \( A \). - Verbinde \( A \) mit \( B \) und \( C \). **2. Berechnung des Winkels \(\beta\):** Der Winkel \(\beta\) liegt bei Punkt \( B \), gegenüber der Seite \( b \). Verwende den Kosinussatz: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \] Setze die Werte ein: \[ 5^2 = 6^2 + 4{,}5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4{,}5 \cdot \cos(\beta) \] \[ 25 = 36 + 20,25 - 54 \cdot \cos(\beta) \] \[ 25 = 56,25 - 54 \cdot \cos(\beta) \] \[ 54 \cdot \cos(\beta) = 56,25 - 25 \] \[ 54 \cdot \cos(\beta) = 31,25 \] \[ \cos(\beta) = \frac{31,25}{54} \approx 0,5787 \] \[ \beta = \arccos(0,5787) \approx 54,6^\circ \] **Antwort:** Die Winkelweite \(\beta\) beträgt etwa **54,6°**.