Wann kann ein Dreieck nicht mit dem SWS-Satz konstruiert werden?

Question

Wann kann ein Dreieck nicht mit dem SWS-Satz konstruiert werden?

Antwort

Verwandte Fragen

Kann man Winkel mit endlichen Schritten exakt dritteln?

Gibt es eine endliche Winkeldrittel-Konstruktion mit kubischer Parabel und wo wurde sie veröffentlicht?

Ist ein solches Dreieck geometrisch möglich?

Wie groß ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse 10 cm und Höhe auf der Hypotenuse 6 cm?

Was sind Sinussatz und Kosinussatz und wann werden sie angewendet?

Gibt es determinierte Konstruktionen zur Winkel-Dreiteilung ohne Näherungsverfahren?

Wie viele Lösungswege gibt es, um ein Dreieck mit einem Katheter und einem Winkel zu lösen?

Accepted Answer

Ein Dreieck kann nicht mit dem SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite) konstruiert werden, wenn die gegebene Winkelgröße nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt. Der SWS-Satz erfordert, dass der Winkel, der bekannt ist, der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten ist. Wenn der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt, kann der SWS-Satz nicht angewendet werden, und die Konstruktion des Dreiecks ist nicht möglich.

Accepted Answer

Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen **nicht** mit endlich vielen Schritten möglich. Das ist ein klassisches Problem der antiken Geometrie, das 1837 von Pierre Wantzel bewi... [mehr]

Accepted Answer

Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen **nicht** mit endlich vielen Schritten möglich. Das ist ein klassisches Problem der antiken Geometrie, das 1837 von Pierre Wantzel bewiesen wurde. Nur für bestimmte spezielle Winkel (z. B. 90°) ist das Dritteln mit Zirkel und Lineal möglich, aber nicht für beliebige Winkel. Falls in meinen vorherigen Antworten ein Widerspruch entstanden ist, tut mir das leid. Die korrekte Aussage ist: **Das exakte Dritteln eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen nicht möglich.** Weitere Informationen dazu findest du z. B. bei [Wikipedia – Winkeldrittelung](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung).

Accepted Answer

Ja, es gibt eine endliche Konstruktion zur Winkeldrittelung mit Hilfe einer kubischen Parabel. Während die klassische Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist, kann sie mit besti... [mehr]

Accepted Answer

Ja, es gibt eine endliche Konstruktion zur Winkeldrittelung mit Hilfe einer kubischen Parabel. Während die klassische Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist, kann sie mit bestimmten zusätzlichen Kurven, wie der kubischen Parabel, durchgeführt werden. **Mathematischer Hintergrund:** Die Winkeldrittelung ist mit Zirkel und Lineal nicht möglich, weil sie auf die Lösung einer kubischen Gleichung hinausläuft, was mit diesen Werkzeugen nicht immer geht. Fügt man jedoch eine kubische Parabel als Hilfsmittel hinzu, kann man die Winkeldrittelung geometrisch lösen. **Veröffentlichung und Quellen:** Eine klassische Beschreibung dieser Methode findet sich in vielen mathematischen Lehrbüchern und Artikeln. Ein bekannter Beleg ist: - Felix Klein: *Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert*, insbesondere Band 1, Kapitel über die Winkeldrittelung. - Weitere Darstellung: - [Wikipedia: Winkeldrittelung – Konstruktion mit kubischer Parabel](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Konstruktion_mit_kubischer_Parabel) - Hans Wussing: *Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs*, Kapitel zur klassischen Geometrie. **Kurze Beschreibung der Methode:** Man konstruiert eine kubische Parabel (z. B. \( y = x^3 \)) und nutzt deren Schnittpunkte mit einer Geraden, die durch den zu drittelnden Winkel bestimmt wird. Die Konstruktion ist endlich, da sie mit einer endlichen Anzahl von Schritten durchgeführt werden kann, sofern die kubische Parabel als gegeben vorausgesetzt wird. **Zusammenfassung:** Mit einer kubischen Parabel ist die endliche Winkeldrittelung möglich. Die Methode ist in mathematischen Standardwerken und auf [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Konstruktion_mit_kubischer_Parabel) dokumentiert.

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Deine Aussage bezieht sich vermutlich auf eine vorherige Beschreibung oder Aufgabe zu einem Dreieck, bei dem bestimmte Bedingungen nicht erfüllt werden können. Ein Dreieck ist nur dann m&oum... [mehr]

Accepted Answer

Deine Aussage bezieht sich vermutlich auf eine vorherige Beschreibung oder Aufgabe zu einem Dreieck, bei dem bestimmte Bedingungen nicht erfüllt werden können. Ein Dreieck ist nur dann möglich, wenn die Summe der Längen zweier Seiten stets größer ist als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung). Außerdem muss die Summe der Innenwinkel immer 180° betragen. Wenn also zum Beispiel Seitenlängen oder Winkel angegeben wurden, die diese Bedingungen verletzen, ist das beschriebene Dreieck tatsächlich nicht möglich. Falls du konkrete Werte oder eine Aufgabe hast, kann ich das gerne genauer überprüfen.

Accepted Answer

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich allgemein mit: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{zugehörige Höhe} \] In deinem Fall ist die Grundseite die Hypotenuse \(... [mehr]

Accepted Answer

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich allgemein mit: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{zugehörige Höhe} \] In deinem Fall ist die Grundseite die Hypotenuse \( c = 10\,\text{cm} \) und die zugehörige Höhe \( h_c = 6\,\text{cm} \). Setze die Werte ein: \[ A = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2 \] **Antwort:** Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks beträgt **30 cm²**.

Accepted Answer

Der **Sinussatz** und der **Kosinussatz** sind zwei wichtige mathematische Sätze aus der Trigonometrie, die in beliebigen Dreiecken (also nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken) verwendet werden.... [mehr]

Accepted Answer

Der **Sinussatz** und der **Kosinussatz** sind zwei wichtige mathematische Sätze aus der Trigonometrie, die in beliebigen Dreiecken (also nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken) verwendet werden. ### Sinussatz **Formel:** \[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \] - \(a, b, c\): Seitenlängen des Dreiecks - \(\alpha, \beta, \gamma\): jeweils die gegenüberliegenden Winkel zu den Seiten **Anwendung:** Der Sinussatz wird verwendet, wenn du in einem beliebigen Dreieck - zwei Winkel und eine beliebige Seite kennst (WWS oder SSW), - oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennst (SSW). ### Kosinussatz **Formel:** \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \] (und entsprechend für die anderen Seiten) **Anwendung:** Der Kosinussatz wird verwendet, wenn du in einem beliebigen Dreieck - alle drei Seiten kennst und einen Winkel berechnen willst (SSS), - oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst (SWS). ### Zusammenfassung - **Sinussatz:** Wenn du zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennst. - **Kosinussatz:** Wenn du alle drei Seiten oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst. Beide Sätze helfen dir, fehlende Seiten oder Winkel in beliebigen Dreiecken zu berechnen, nicht nur in rechtwinkligen.

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Ja, es gibt determinierte (also festgelegte, nicht-probierende) Konstruktionen, mit denen man einem gedrittelten Winkel beliebig genau näherkommen kann – allerdings immer nur näherungs... [mehr]

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Ja, es gibt determinierte (also festgelegte, nicht-probierende) Konstruktionen, mit denen man einem gedrittelten Winkel beliebig genau näherkommen kann – allerdings immer nur näherungsweise, nicht exakt mit Zirkel und Lineal. Das liegt daran, dass die exakte Dreiteilung eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen unmöglich ist (dies wurde im 19. Jahrhundert mathematisch bewiesen). **Determinierte Konstruktionen** sind zum Beispiel: - **Konstruktionen mit regelmäßigen Vielecken:** Man kann mit Zirkel und Lineal regelmäßige Vielecke konstruieren, deren Innenwinkel sich bestimmten Winkeln annähern. Je mehr Ecken das Vieleck hat, desto näher kommt man an die gewünschte Winkeldrittelung. - **Iterative Verfahren:** Es gibt festgelegte, schrittweise Verfahren (z.B. mit Hilfe von Näherungsformeln oder bestimmten Teilungskonstruktionen), die deterministisch sind und mit jedem Schritt die Annäherung verbessern. - **Approximation mit Kettenbrüchen:** Man kann den Kosinus des Drittelwinkels durch Kettenbrüche oder Polynome approximieren und daraus eine determinierte Konstruktion ableiten. **Wichtig:** All diese Methoden liefern nur eine Annäherung, aber keine exakte Dreiteilung mit Zirkel und Lineal. Exakte Dreiteilungen sind nur für bestimmte Winkel (z.B. 90°, 180°) möglich. **Fazit:** Es gibt determinierte, also festgelegte, nicht-probierende Konstruktionsverfahren, mit denen man die Dreiteilung eines Winkels beliebig genau annähern kann. Eine exakte Dreiteilung ist jedoch im Allgemeinen mit Zirkel und Lineal nicht möglich. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Dreiteilung des Winkels](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels).

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Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht si... [mehr]

Accepted Answer

Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht sich auf die Situation, in der **ein Katheter (eine Seite, meist bei rechtwinkligen Dreiecken als "Kathete" bezeichnet) und ein Winkel** gegeben sind. Hier die möglichen Lösungswege: 1. **Rechtwinkliges Dreieck**: - Ist das Dreieck rechtwinklig und du kennst eine Kathete und einen weiteren Winkel (außer dem rechten Winkel), dann kannst du das Dreieck eindeutig lösen. - Mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) kannst du die anderen Seiten und Winkel mit den **trigonometrischen Funktionen** (Sinus, Kosinus, Tangens) berechnen. 2. **Allgemeines Dreieck**: - Bei einem allgemeinen Dreieck (nicht rechtwinklig) und der Angabe einer Seite und eines Winkels gibt es **im Allgemeinen keine eindeutige Lösung**. - Es können je nach Lage des Winkels und der Seite **keine, eine oder zwei Lösungen** existieren (Stichwort: "Seiten-Winkel-Winkel"- oder "Seiten-Winkel-Seiten"-Fälle, siehe auch "ambiguous case" beim Sinussatz). **Fazit:** - Bei einem **rechtwinkligen Dreieck** gibt es mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) **genau einen Lösungsweg**. - Bei einem **allgemeinen Dreieck** kann es **keinen, einen oder zwei Lösungswege** geben, abhängig von den gegebenen Werten (siehe Sinussatz, "ambiguous case"). **Weiterführende Links:** - [Sinussatz – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz) - [Dreieck berechnen – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/dreieck-berechnen) Wenn du einen konkreten Fall hast (z.B. welche Seite und welcher Winkel gegeben sind), kann die Antwort noch genauer ausfallen.