16 Fragen zu Normalparabel

Die allgemeine Form einer Normalparabel (einer Parabel, die nach oben oder unten geöffnet ist) lautet: \[ y = ax^2 + bx + c \] Dabei sind: - \( a \) der Koeffizient, der die Öffnungsweite und die Richtung der Parabel bestimmt (wenn \( a > 0 \), öffnet die Parabel nach oben; wenn \( a < 0 \), öffnet sie nach unten), - \( b \) der Koeffizient, der die Lage der Parabel entlang der x-Achse beeinflusst, - \( c \) der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet. Eine spezielle Form der Normalparabel ist die sogenannte Scheitelpunktform: \[ y = a(x - d)^2 + e \] Hierbei ist \((d, e)\) der Scheitelpunkt der Parabel.

Die Normalparabel hat die Gleichung \( f(x) = x^2 \). Die Stammfunktion \( F(x) \) dieser Funktion erhält man durch Integration: \[ F(x) = \int x^2 \, dx \] Die Stammfunktion von \( x^2 \) ist: \[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C \] wobei \( C \) eine Konstante ist, die die unbestimmte Integration berücksichtigt.

Um die Gleichung der Parabel zu bestimmen, die durch die Punkte \( P2, -5) \) und \( Q(2, 3) \) geht und nach unten geöffnet ist, nehmen wir die allgemeine Form einer Parabel an: \[ y = ax^2 + bx + c \] Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss \( a < 0 \) sein. Wir setzen die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Gleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erstellen. Für den Punkt \( P(-2, -5) \): \[ -5 = a(-2)^2 + b(-2) + c \] \[ -5 = 4a - 2b + c \quad \text{(1)} \] Für den Punkt \( Q(2, 3) \): \[ 3 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ 3 = 4a + 2b + c \quad \text{(2)} \] Nun haben wir zwei Gleichungen: 1. \( -5 = 4a - 2b + c \) 2. \( 3 = 4a + 2b + c \) Um \( b \) und \( c \) zu eliminieren, subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 3 - (-5) \] \[ 4b = 8 \] \[ b = 2 \] Nun setzen wir \( b = 2 \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( a \) und \( c \) zu finden. Nehmen wir die erste Gleichung: \[ -5 = 4a - 2(2) + c \] \[ -5 = 4a - 4 + c \] \[ -1 = 4a + c \quad \text{(3)} \] Setzen wir \( b = 2 \) in die zweite Gleichung ein: \[ 3 = 4a + 2(2) + c \] \[ 3 = 4a + 4 + c \] \[ -1 = 4a + c \quad \text{(4)} \] Da die Gleichungen (3) und (4) identisch sind, haben wir nur eine unabhängige Gleichung für \( a \) und \( c \). Wir können \( c \) in Abhängigkeit von \( a \) ausdrücken: \[ c = -1 - 4a \] Nun setzen wir \( c = -1 - 4a \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( a \) zu bestimmen. Nehmen wir die erste Gleichung: \[ -5 = 4a - 2(2) + (-1 - 4a) \] \[ -5 = 4a - 4 - 1 - 4a \] \[ -5 = -5 \] Diese Identität zeigt, dass die Gleichung für \( c \) korrekt ist. Da wir \( a \) nicht direkt bestimmen können, wissen wir nur, dass \( a < 0 \) sein muss, um die Parabel nach unten zu öffnen. Die allgemeine Form der Parabel ist daher: \[ y = ax^2 + 2x - 1 - 4a \] Um eine spezifische Lösung zu finden, muss ein zusätzlicher Punkt oder eine Bedingung gegeben werden.

Die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel kann in der Form \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) dargestellt werden, wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt der Parabel. In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \( S(0, -7) \). Das bedeutet, dass \( h = 0 \) und \( k = -7 \). Wenn wir annehmen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist (also \( a > 0 \)), lautet die Gleichung: \[ f(x) = a(x - 0)^2 - 7 \] Das vereinfacht sich zu: \[ f(x) = ax^2 - 7 \] Der Wert von \( a \) bestimmt die Breite und die Richtung der Parabel. Wenn du einen spezifischen Wert für \( a \) hast, kannst du ihn in die Gleichung einsetzen.

Die gegebene Funktionsgleichung \( y = 2x^2 \) beschreibt eine Parabel, die sich von der Normalparabel \( y = x^2 \) unterscheidet. Der Hauptunterschied liegt in der Streckung der Parabel. 1. **Streckung**: Die Normalparabel hat den Koeffizienten 1 vor \( x^2 \), während die gegebene Parabel den Koeffizienten 2 hat. Dies bedeutet, dass die Parabel \( y = 2x^2 \) steiler ist als die Normalparabel. Für jeden Wert von \( x \) ist der Funktionswert \( y \) doppelt so groß wie bei der Normalparabel. 2. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt der Parabel \( y = 2x^2 \) liegt bei \( (0, 0) \). Dies ist der tiefste Punkt der Parabel, da sie nach oben geöffnet ist. Zusammenfassend ist die Parabel \( y = 2x^2 \) eine steilere Version der Normalparabel \( y = x^2 \) mit dem Scheitelpunkt bei \( (0, 0) \).

Die Gleichung der Normalparabel ist \( f(x) = x^2 \). Wenn die Parabel an der x-Achse gespiegelt wird, ändert sich die Gleichung zu \( f(x) = -x^2 \). Durch die Verschiebung um 3 Einheiten nach oben wird die Gleichung zu \( f(x) = -x^2 + 3 \). Die gesuchte Gleichung der transformierten Funktion lautet also: \[ f(x) = -x^2 + 3 \]

Um den Graphen einer Funktion \( f \) aus dem Graphen einer Normalparabel \( g(x) = x^2 \) zu erhalten, musst du Transformationen anwenden. Hier sind die häufigsten Transformationen: 1. **Verschiebung**: Wenn du den Graphen nach oben oder unten verschieben möchtest, addierst oder subtrahierst einen konstanten Wert \( c \). Zum Beispiel: \( f(x) = x^2 + c \). 2. **Streckung oder Stauchung**: Wenn du den Graphen in der Höhe verändern möchtest, multiplizierst du die Funktion mit einem Faktor \( a \). Zum Beispiel: \( f(x) = a \cdot x^2 \), wobei \( a > 1 \) eine Streckung und \( 0 < a < 1 \) eine Stauchung bewirkt. 3. **Spiegelung**: Wenn du den Graphen spiegeln möchtest, multiplizierst du die Funktion mit -1. Zum Beispiel: \( f(x) = -x^2 \). 4. **Horizontale Verschiebung**: Wenn du den Graphen nach links oder rechts verschieben möchtest, subtrahierst oder addierst du einen Wert zu \( x \). Zum Beispiel: \( f(x) = (x - d)^2 \), wobei \( d \) die Verschiebung nach rechts ist. Durch Kombination dieser Transformationen kannst du den Graphen von \( f \) aus dem Graphen der Normalparabel \( g \) erhalten.

Die Funktion \( g(x) \) kann verschiedene Werte annehmen, abhängig von ihrer spezifischen Definition. Wenn \( g(x) \) eine quadratische Funktion ist, in der Form \((x) = ax^2 + bx + c \) dargestellt wird, können die Werte von \( g(x) \) durch die Parameter \( a \), \( b \) und \( c \) beeinflusst werden. Im Vergleich zur Normalparabel \( f(x) = x^2 \) gibt es einige Unterschiede: 1. **Streckung/Stauchung**: Der Wert von \( a \) bestimmt, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist. Ist \( |a| > 1 \), wird die Parabel gestreckt; ist \( |a| < 1 \), wird sie gestaucht. 2. **Verschiebung**: Die Werte von \( b \) und \( c \) verschieben die Parabel nach links/rechts (durch \( b \)) und nach oben/unten (durch \( c \)). Eine Normalparabel hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung (0,0), während \( g(x) \) an einem anderen Punkt liegen kann. 3. **Öffnungsrichtung**: Wenn \( a < 0 \), öffnet die Parabel nach unten, während die Normalparabel immer nach oben öffnet. Zusammenfassend kann die Funktion \( g(x) \) durch ihre Parameter in ihrer Form und Lage stark variieren, während die Normalparabel eine spezifische Form hat.

Um die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 12x + 26 \) aus einer Normalparabel zu erzeugen, können wir die Schritte zur Umformung und Transformation einer Normalparabel \( g(x) = x^2 \) betrachten. 1. **Faktorisierung**: Zuerst erkennen wir, dass der Koeffizient \( x^2 \) in \( f(x) \) 2 ist. Das bedeutet, dass wir die Normalparabel \( g(x) = x^2 \) mit 2 multiplizieren müssen: \[ f(x) = 2 \cdot g(x) = 2x^2 \] 2. **Verschiebung**: Nun müssen wir die Parabel nach links und oben verschieben. Die Terme \( 12x \) und \( 26 \) müssen in die Gleichung integriert werden. Zuerst vervollständigen wir das Quadrat für den Ausdruck \( 2x^2 + 12x \): \[ 2x^2 + 12x = 2(x^2 + 6x) \] Um \( x^2 + 6x \) zu vervollständigen, fügen wir \( 9 \) hinzu und subtrahieren es: \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] Setzen wir das zurück in die Gleichung ein: \[ 2(x^2 + 6x) = 2((x + 3)^2 - 9) = 2(x + 3)^2 - 18 \] 3. **Endform**: Jetzt fügen wir den konstanten Term \( 26 \) hinzu: \[ f(x) = 2(x + 3)^2 - 18 + 26 = 2(x + 3)^2 + 8 \] Somit haben wir die Funktion \( f(x) \) in der Scheitelpunktform: \[ f(x) = 2(x + 3)^2 + 8 \] Zusammenfassend: Die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 12x + 26 \) wird aus der Normalparabel \( g(x) = x^2 \) durch eine Streckung um den Faktor 2, eine Verschiebung um 3 Einheiten nach links und 8 Einheiten nach oben erzeugt.

Die Normalform einer Parabel ist gegeben durch die Gleichung \(y = a(x - h)^2 + k\), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \(S(1 | 3)\), also \(h = 1\) und \(k = 3\). Die Gleichung der Parabel in Normalform lautet somit: \[y = a(x - 1)^2 + 3\] Der Wert von \(a\) bestimmt die Öffnung und die Breite der Parabel. Wenn du weitere Informationen hast, wie z.B. einen Punkt, durch den die Parabel verläuft, kann der Wert von \(a\) bestimmt werden. Andernfalls bleibt die Gleichung in dieser Form.

Die gegebene Gleichung \( y = x - 9x + 20.25 \) scheint einen Fehler zu enthalten, da sie nicht die Form einer Parabel hat. Eine Normalparabel hat die Form \( y = x^2 \). Wenn die Gleichung korrekt wäre, könnte man die Verschiebung bestimmen. Angenommen, die Gleichung sollte \( y = x^2 - 9x + 20.25 \) lauten, dann handelt es sich um eine Parabel der Form \( y = (x - h)^2 + k \), wobei \( h \) die Verschiebung nach rechts oder links und \( k \) die Verschiebung nach oben oder unten ist. Um die Verschiebung zu bestimmen, kann man die quadratische Gleichung in Scheitelpunktform umwandeln: 1. Starte mit \( y = x^2 - 9x + 20.25 \). 2. Vervollständige das Quadrat: \[ y = (x^2 - 9x + \frac{81}{4}) - \frac{81}{4} + 20.25 \] \[ y = (x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + \frac{81}{4} \] \[ y = (x - \frac{9}{2})^2 \] Die Scheitelpunktform der Parabel ist \( y = (x - \frac{9}{2})^2 \). Das bedeutet, die Normalparabel \( y = x^2 \) wurde um \( \frac{9}{2} \) Einheiten nach rechts verschoben. Daher muss die Normalparabel um \( \frac{9}{2} \) Einheiten nach rechts verschoben werden, um die gegebene Parabel zu erhalten.

Um zu bestimmen, um wie viele Einheiten eine Normalparabel \( y = x^2 \) nach rechts oder links verschoben werden muss, damit sie der Graph der Funktion \( y = (x - h)^2 \) ist, muss man den Wert von \( h \) kennen. Die allgemeine Form einer verschobenen Parabel lautet \( y = (x - h)^2 + k \), wobei \( h \) die horizontale Verschiebung und \( k \) die vertikale Verschiebung angibt. Wenn \( k = 0 \), bleibt nur die horizontale Verschiebung übrig, und die Gleichung vereinfacht sich zu \( y = (x - h)^2 \). - Wenn \( h > 0 \), wird die Parabel um \( h \) Einheiten nach rechts verschoben. - Wenn \( h < 0 \), wird die Parabel um \( |h| \) Einheiten nach links verschoben. Beispiel: - Für die Funktion \( y = (x - 3)^2 \) ist \( h = 3 \). Die Normalparabel \( y = x^2 \) muss also um 3 Einheiten nach rechts verschoben werden. - Für die Funktion \( y = (x + 2)^2 \) ist \( h = -2 \). Die Normalparabel \( y = x^2 \) muss also um 2 Einheiten nach links verschoben werden. Zusammengefasst: Die Anzahl der Einheiten, um die die Normalparabel verschoben werden muss, entspricht dem Betrag von \( h \).

Um die Gleichung der Parabel zu bestimmen, die durch die Punkte \( P(-2, -5) \) und \( Q(2, 3) \) geht, und nach unten geöffnet ist, nehmen wir die allgemeine Form einer Parabel an: \[ y = ax^2 + bx + c \] Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss \( a < 0 \) sein. Wir setzen die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Gleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erstellen. Für den Punkt \( P(-2, -5) \): \[ -5 = a(-2)^2 + b(-2) + c \] \[ -5 = 4a - 2b + c \quad \text{(1)} \] Für den Punkt \( Q(2, 3) \): \[ 3 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ 3 = 4a + 2b + c \quad \text{(2)} \] Nun haben wir zwei Gleichungen: 1. \( -5 = 4a - 2b + c \) 2. \( 3 = 4a + 2b + c \) Um \( b \) und \( c \) zu eliminieren, subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 3 - (-5) \] \[ 4a + 2b + c - 4a + 2b - c = 8 \] \[ 4b = 8 \] \[ b = 2 \] Setze \( b = 2 \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( a \) und \( c \) zu finden. Nehmen wir die erste Gleichung: \[ -5 = 4a - 2(2) + c \] \[ -5 = 4a - 4 + c \] \[ -1 = 4a + c \quad \text{(3)} \] Setze \( b = 2 \) in die zweite Gleichung ein: \[ 3 = 4a + 2(2) + c \] \[ 3 = 4a + 4 + c \] \[ -1 = 4a + c \quad \text{(4)} \] Da die Gleichungen (3) und (4) identisch sind, haben wir nur eine unabhängige Gleichung für \( a \) und \( c \). Wir können \( c \) in Abhängigkeit von \( a \) ausdrücken: \[ c = -1 - 4a \] Setze \( c = -1 - 4a \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( a \) zu finden. Nehmen wir die erste Gleichung: \[ -5 = 4a - 2(2) + (-1 - 4a) \] \[ -5 = 4a - 4 - 1 - 4a \] \[ -5 = -5 \] Dies bestätigt, dass die Gleichung konsistent ist. Da wir \( b = 2 \) und \( c = -1 - 4a \) haben, setzen wir \( a \) als eine negative Zahl, um die nach unten geöffnete Parabel zu gewährleisten. Nehmen wir an, \( a = -1 \): \[ c = -1 - 4(-1) \] \[ c = -1 + 4 \] \[ c = 3] Somit ist die Gleichung der Parabel: \[ y = -x^2 + 2x + 3 \]

Um die Normalform einer verschobenen Normalparabel anzugeben, benötigst du die Scheitelpunktform der Parabel. Die allgemeine Form einer Parabel mit dem Scheitelpunkt \( S(h|k) \) lautet: \[ y = a(x - h)^2 + k \] In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \( S(-6|-5) \). Das bedeutet, dass \( h = -6 \) und \( k = -5 \). Die Gleichung der Parabel wird also: \[ y = a(x + 6)^2 - 5 \] Der Wert von \( a \) bestimmt die Öffnung und die Breite der Parabel. Wenn du den Wert von \( a \) nicht angibst, bleibt die Gleichung in dieser Form. Falls du weitere Informationen oder spezifische Werte für \( a \) hast, kann die Gleichung weiter präzisiert werden.

Um den Graphen der Funktion \( f(x) = 2x^2 + 4x - 1 \) aus der Normalparabel \( g(x) = x^2 \) zu erhalten, sind folgende geometrische Operationen notwendig: 1. **Streckung**: Die Funktion wird in der y-Richtung um den Faktor 2 gestreckt. Dies geschieht durch die Multiplikation des gesamten Ausdrucks mit 2. Der Graph der Normalparabel wird also zu \( h(x) = 2x^2 \). 2. **Verschiebung**: Der Graph wird dann um 2 Einheiten nach links verschoben. Dies geschieht durch die Substitution \( x \) durch \( x + 2 \). Der Ausdruck wird zu \( k(x) = 2(x + 2)^2 \). 3. **Verschiebung**: Schließlich wird der Graph um 1 Einheit nach unten verschoben. Dies geschieht durch die Subtraktion von 1. Der endgültige Ausdruck wird zu \( f(x) = 2(x + 2)^2 - 1 \). Zusammengefasst sind die Schritte: - Vertikale Streckung um den Faktor 2. - Horizontale Verschiebung um 2 Einheiten nach links. - Vertikale Verschiebung um 1 Einheit nach unten.