53 Fragen zu Funktionsgleichung

Um die Funktionsgleichung für die Flugbahn eines Golfballs zu bestimmen, der 160 Meter weit und 50 Meter hoch geschlagen wird, kann eine Parabel in der Form \( y = ax^2 + bx + c \) verwendet werden. Hier sind die Schritte zur Bestimmung der Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\): 1. **Bestimme die bekannten Punkte:** - Startpunkt: \( (0, 0) \) - Scheitelpunkt: \( (80, 50) \) (da die maximale Höhe in der Mitte der Flugbahn erreicht wird) - Endpunkt: \( (160, 0) \) 2. **Setze die Punkte in die Parabelgleichung ein:** - Für den Startpunkt \( (0, 0) \): \( 0 = a(0)^2 + b(0) + c \) \(\Rightarrow c = 0\) - Für den Scheitelpunkt \( (80, 50) \): \( 50 = a(80)^2 + b(80) \) - Für den Endpunkt \( (160, 0) \): \( 0 = a(160)^2 + b(160) \) 3. **Löse das Gleichungssystem:** - Aus \( c = 0 \) folgt die vereinfachte Gleichung \( y = ax^2 + bx \). - Setze \( (80, 50) \) in die Gleichung ein: \( 50 = 6400a + 80b \) \(\Rightarrow 50 = 6400a + 80b \) - Setze \( (160, 0) \) in die Gleichung ein: \( 0 = 25600a + 160b \) \(\Rightarrow 0 = 25600a + 160b \) 4. **Löse die Gleichungen:** - Aus \( 0 = 25600a + 160b \) folgt \( b = -160a \). - Setze \( b = -160a \) in \( 50 = 6400a + 80b \) ein: \[ 50 = 6400a + 80(-160a) \] \[ 50 = 6400a - 12800a \] \[ 50 = -6400a \] \[ a = -\frac{50}{6400} = -\frac{1}{128} \] - Setze \( a = -\frac{1}{128} \) in \( b = -160a \) ein: \[ b = -160 \left(-\frac{1}{128}\right) = \frac{160}{128} = \frac{5}{4} \] 5. **Schreibe die Funktionsgleichung:** \[ y = -\frac{1}{128}x^2 + \frac{5}{4}x \] Die Funktionsgleichung für die Flugbahn des Golfballs lautet also: \[ y = -\frac{1}{128}x^2 + \frac{5}{4}x \]

Die Funktionsgleichung für das Gateway Arch in St. Louis, Missouri, ist eine Kettenlinie (auch Katenoide genannt). Die Gleichung der Kettenlinie lautet: \[ y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \] wobei \( \cosh \) der hyperbolische Kosinus ist und \( a \) eine Konstante, die die Form der Kettenlinie bestimmt. Für das Gateway Arch ist \( a \) ungefähr 68,8 Meter.

Die Funktionsgleichung für die Dissoziation von Kalilauge (KOH) in Wasser beschreibt, wie KOH in Wasser in Kaliumionen (K⁺) und Hydroxidionen (OH⁻) dissoziiert. Die Gleichung lautet: \[ \text{KOH} \rightarrow \text{K}^+ + \text{OH}^- \] Diese Gleichung zeigt, dass ein Mol Kalilauge in ein Mol Kaliumionen und ein Mol Hydroxidionen dissoziiert.

Um die Funktionsgleichung einer Geraden zu bestimmen, die durch die Punkte P(3|4,5) und Q(9|8,5) verläuft, kannst du die allgemeine Form der Geradengleichung \(y = mx + b\) verwenden, wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der y-Achsenabschnitt ist. 1. **Steigung \(m\) berechnen**: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8,5 - 4,5}{9 - 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 2. **Gleichung aufstellen**: Jetzt kannst du die Steigung in die Geradengleichung einsetzen. Verwende einen der Punkte, z.B. P(3|4,5), um \(b\) zu berechnen: \[ 4,5 = \frac{2}{3} \cdot 3 + b \] \[ 4,5 = 2 + b \implies b = 4,5 - 2 = 2,5 \] 3. **Funktionsgleichung**: Die Funktionsgleichung der Geraden lautet somit: \[ y = \frac{2}{3}x + 2,5 \]

Um eine Funktionsgleichung zu ermitteln, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Daten sammeln**: Du benötigst Punkte, die die Funktion beschreiben. Diese Punkte bestehen aus x- und y-Werten2. **Art der Funktion bestimmen**: Überlege, ob die Funktion linear, quadratisch, exponentiell oder einer Form entspricht. Dies kannst du durch das Betrachten der oder durch grafische Darstellung herausfinden. 3. **Parameter bestimmen**: - **Für lineare Funktionen** (y = mx + b): Bestimme die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b). Du kannst zwei Punkte (x1, y1) und (x2, y2) verwenden, um die Steigung zu berechnen: \[ m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \] Setze dann einen Punkt in die Gleichung ein, um b zu finden. - **Für quadratische Funktionen** (y = ax² + bx + c): Du benötigst mindestens drei Punkte, um die Koeffizienten a, b und c zu bestimmen. Setze die Punkte in die Gleichung ein und löse das Gleichungssystem. 4. **Gleichung aufstellen**: Setze die ermittelten Parameter in die allgemeine Form der Funktion ein. 5. **Überprüfen**: Setze die x-Werte der gesammelten Punkte in die Funktionsgleichung ein, um zu überprüfen, ob die y-Werte übereinstimmen. Durch diese Schritte kannst du eine Funktionsgleichung ermitteln, die die Beziehung zwischen den Variablen beschreibt.

Um die Funktionsgleichung in der Form \( y = ax^2 + bx + c \) anzugeben, benötige ich spezifische Informationen zu den Werten von \( a \), \( b \) und \( c \). Diese Werte hängen von der jeweiligen Parabel oder Funktion ab, die du analysieren möchtest. Bitte gib mir die entsprechenden Informationen oder Bedingungen, um die Gleichung zu bestimmen.

Um die Funktionsgleichung der Wurzelfunktion \( f(x) = x^{1/n} \) zu bestimmen, nutzen wir den gegebenen Punkt \( P(81|3) \). Das bedeutet, dass \( f(81) = 3 \). Setze \( x = 81 \) in die Funktionsgleichung ein: \[ f(81) = 81^{1/n} = 3 \] Um \( n \) zu finden, quadrieren wir beide Seiten der Gleichung: \[ 81^{1/n} = 3 \implies 81 = 3^n \] Da \( 81 = 3^4 \), können wir die Gleichung umschreiben: \[ 3^4 = 3^n \] Das bedeutet, dass \( n = 4 \) ist. Somit lautet die zugehörige Funktionsgleichung: \[ f(x) = x^{1/4} \]

Wenn die Parabel um 5 Einheiten nach oben verschoben wird wird der Funktionswert \( f(x) \) um 5 erhöht. Die ursprüngliche Funktionsgleichung lautet: \[ f(x) = 2(x-3)^2 \] Nach der Verschiebung um 5 Einheiten nach oben lautet die neue Funktionsgleichung: \[ f(x) = 2(x-3)^2 + 5 \] Wenn du die Gleichung weiter umformen möchtest, kannst du das auch tun: \[ f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) + 5 \] \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 5 \] \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] Die zugehörige Funktionsgleichung nach der Verschiebung ist also: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \]

Die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel kann in der Form \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) dargestellt werden, wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt der Parabel. In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \( S(0, -7) \). Das bedeutet, dass \( h = 0 \) und \( k = -7 \). Wenn wir annehmen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist (also \( a > 0 \)), lautet die Gleichung: \[ f(x) = a(x - 0)^2 - 7 \] Das vereinfacht sich zu: \[ f(x) = ax^2 - 7 \] Der Wert von \( a \) bestimmt die Breite und die Richtung der Parabel. Wenn du einen spezifischen Wert für \( a \) hast, kannst du ihn in die Gleichung einsetzen.

Um die Funktionsgleichung in der Form \( y = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, benötigst du mehr Informationen, wie zum Beispiel weitere Punkte oder Bedingungen, die die Parabel definieren. Der Punkt \( S(-3|-2) \) gibt uns jedoch einen Punkt auf der Parabel, was bedeutet, dass er die Gleichung erfüllt. Setze den Punkt in die allgemeine Form ein: \[ -2 = a(-3)^2 + b(-3) + c \] Das vereinfacht sich zu: \[ -2 = 9a - 3b + c \] Um die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \) zu bestimmen, benötigst du mindestens zwei weitere Punkte oder zusätzliche Informationen über die Parabel (z.B. Scheitelpunkt, Öffnungsrichtung, etc.). Wenn du diese Informationen bereitstellen kannst, kann die Gleichung weiter eingegrenzt werden.

Um die Funktionsgleichung einer Parabel aufzustellen, die um 2 Einheiten nach unten, 6 Einheiten nach rechts verschoben und um den Faktor 0,5 gestaucht ist, startest du mit der allgemeinen Form der Parabel: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] Hierbei ist \( (h, k) \) der Scheitelpunkt der Parabel und \( a \) der Streckfaktor. 1. **Verschiebung nach rechts**: Eine Verschiebung um 6 Einheiten nach rechts bedeutet, dass \( h = 6 \). 2. **Verschiebung nach unten**: Eine Verschiebung um 2 Einheiten nach unten bedeutet, dass \( k = -2 \). 3. **Stauchung**: Eine Stauchung um den Faktor 0,5 bedeutet, dass \( a = 0,5 \). Setze diese Werte in die allgemeine Form ein: \[ f(x) = 0,5(x - 6)^2 - 2 \] Das ist die Funktionsgleichung der Parabel.

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der höchste oder tiefste Punkt der Funktion, abhängig von der Öffnungsrichtung der Parabel. Bei einer quadratischen Funktion in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) kann der Scheitelpunkt durch die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) dargestellt werden, wobei \( (h, k) \) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Um den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form zu bestimmen, kannst du die folgenden Schritte ausführen: 1. Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel \( h = -\frac{b}{2a} \). 2. Setze \( h \) in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate \( k \) zu finden: \( k = f(h) \). Somit ist der Scheitelpunkt \( (h, k) \) direkt mit den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) der Funktionsgleichung verbunden.

Die Funktionsgleichung \( s = 6,7t \) beschreibt eine lineare Beziehung zwischen der Strecke \( s \) und der Zeit \( t \). Hierbei steht \( s \) für die zurückgelegte Strecke in Kilometern und \( t \) für die Zeit in Stunden. Das bedeutet, dass für jede Stunde, die vergeht, eine Strecke von 6,7 km zurückgelegt wird. Wenn du also wissen möchtest, wie weit du nach einer bestimmten Zeit gefahren bist, kannst du einfach die Zeit in Stunden mit 6,7 multiplizieren. Beispiel: - Nach 1 Stunde: \( s = 6,7 \times 1 = 6,7 \) km - Nach 2 Stunden: \( s = 6,7 \times 2 = 13,4 \) km - Nach 3 Stunden: \( s = 6,7 \times 3 = 20,1 \) km So kannst du die zurückgelegte Strecke für jede beliebige Zeit berechnen.

Um die Funktionsgleichung für die Höhe des Wassers in der Regentonne in Abhängigkeit von der Zeit aufzustellen, können wir die folgenden Überlegungen anstellen: 1. **Anfangshöhe**: Die Anfangshöhe des Wassers beträgt 50 cm. 2. **Anstieg pro Zeit**: Das Wasser steigt um 1 mm in 10 Minuten. Das entspricht 0,1 cm in 10 Minuten. Die Funktion \( F(t) \) beschreibt die Höhe des Wassers in cm nach \( t \) Minuten. Die Funktionsgleichung lautet: \[ F(t) = 50 + 0,1 \cdot \frac{t}{10} \] Das vereinfacht sich zu: \[ F(t) = 50 + 0,01t \] Hierbei ist \( t \) die Zeit in Minuten und \( F(t) \) die Höhe des Wassers in cm.

Die Funktionsgleichung für die Funktion, die 3 Eintel (also 3/1) plus 2 beschreibt, lautet: \( f(x) = 3x + 2 \) Hierbei ist \( x \) die Variable, die die Anzahl der Eintel darstellt.