1 Frage zu Golfschlag

Um die Funktionsgleichung für die Flugbahn eines Golfballs zu bestimmen, der 160 Meter weit und 50 Meter hoch geschlagen wird, kann eine Parabel in der Form \( y = ax^2 + bx + c \) verwendet werden. Hier sind die Schritte zur Bestimmung der Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\): 1. **Bestimme die bekannten Punkte:** - Startpunkt: \( (0, 0) \) - Scheitelpunkt: \( (80, 50) \) (da die maximale Höhe in der Mitte der Flugbahn erreicht wird) - Endpunkt: \( (160, 0) \) 2. **Setze die Punkte in die Parabelgleichung ein:** - Für den Startpunkt \( (0, 0) \): \( 0 = a(0)^2 + b(0) + c \) \(\Rightarrow c = 0\) - Für den Scheitelpunkt \( (80, 50) \): \( 50 = a(80)^2 + b(80) \) - Für den Endpunkt \( (160, 0) \): \( 0 = a(160)^2 + b(160) \) 3. **Löse das Gleichungssystem:** - Aus \( c = 0 \) folgt die vereinfachte Gleichung \( y = ax^2 + bx \). - Setze \( (80, 50) \) in die Gleichung ein: \( 50 = 6400a + 80b \) \(\Rightarrow 50 = 6400a + 80b \) - Setze \( (160, 0) \) in die Gleichung ein: \( 0 = 25600a + 160b \) \(\Rightarrow 0 = 25600a + 160b \) 4. **Löse die Gleichungen:** - Aus \( 0 = 25600a + 160b \) folgt \( b = -160a \). - Setze \( b = -160a \) in \( 50 = 6400a + 80b \) ein: \[ 50 = 6400a + 80(-160a) \] \[ 50 = 6400a - 12800a \] \[ 50 = -6400a \] \[ a = -\frac{50}{6400} = -\frac{1}{128} \] - Setze \( a = -\frac{1}{128} \) in \( b = -160a \) ein: \[ b = -160 \left(-\frac{1}{128}\right) = \frac{160}{128} = \frac{5}{4} \] 5. **Schreibe die Funktionsgleichung:** \[ y = -\frac{1}{128}x^2 + \frac{5}{4}x \] Die Funktionsgleichung für die Flugbahn des Golfballs lautet also: \[ y = -\frac{1}{128}x^2 + \frac{5}{4}x \]